Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: $F(t)=F_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора

Консервативный гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: $ma=-kx+F_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$. Если ввести обозначения: ${\omega }_0^2=\frac{k}{m},{\mathrm{\Phi }}_0=\frac{F_0}{m}$ и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x={\mathrm{\Phi }}_0\cos (\mathrm{\Omega }t)$

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

$x(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+\phi )$,

где $A,\phi$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: $x(t)=B\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$ и получим значение для константы:

$B=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{{\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2}$

Тогда окончательное решение запишется в виде:

$x(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+\phi )+\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{{\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2}\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: $x(t)=t(A\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)+B\sin \left(\mathrm{\Omega }t\right))$. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что

$A=0B=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{2\mathrm{\Omega }}$

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

$x(t)=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{2\mathrm{\Omega }}t\sin \left(\mathrm{\Omega }t\right)$

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

$ma=-kx-\alpha v+F_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$.

Переобозначения:

${\omega }_0^2=\frac{k}{m},{\mathrm{\Phi }}_0=\frac{F_0}{m},\zeta =\frac{\alpha }{2\sqrt{km}}$

Дифференциальное уравнение:

$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x={\mathrm{\Phi }}_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: ${\mathrm{\Phi }}_0\cos \mathrm{\Omega }t={\mathrm{\Phi }}_{0}Re{e}^{-i\mathrm{\Omega }t}$, тогда решение будем искать в виде: $x(t)=A{e}^{-i\mathrm{\Omega }t}$, где $A\in ℂ$. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для $A$:

$A=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{{\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2-2i\zeta \mathrm{\Omega }{\omega }_0}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2+2i\zeta \mathrm{\Omega }{\omega }_0)}{{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\zeta }^2{\mathrm{\Omega }}^2{\omega }_0^2}=|A|e^{-i\phi }$

где $|A|=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{\sqrt{{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\zeta }^2{\mathrm{\Omega }}^2{\omega }_0^2}},\phi =-\arctan \frac{2\zeta \mathrm{\Omega }{\omega }_0}{{\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2}$

Полное решение имеет вид:

$x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{0}t}(c_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+c_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t))+Re\left[\frac{{\mathrm{\Phi }}_0({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2+2i\zeta \mathrm{\Omega }{\omega }_0)}{{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\zeta }^2{\mathrm{\Omega }}^2{\omega }_0^2}{e}^{-i\mathrm{\Omega }t}\right]$,

где ${\omega }_{\mathrm{d}}={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_1$ и $c_2$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\{\begin{array}{ccc}x(0)& =& x_0\\ \dot{x}(0)& =& v_0\end{array}$

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при $t\to \mathrm{\infty }$, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

$x(t\to \mathrm{\infty })={\mathrm{\Phi }}_0\frac{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2)\cos \mathrm{\Omega }t+2\zeta \mathrm{\Omega }\sin \mathrm{\Omega }t}{{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\zeta }^2{\mathrm{\Omega }}^2}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2{)}^2+4{\zeta }^2{\omega }_0^2{\mathrm{\Omega }}^2}}\cos (\mathrm{\Omega }t-\phi )$

Это означает, что при $t\to \mathrm{\infty }$ система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой $F(t)=F_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$ за время $dt$, равна $Fdx$, а мощность $P=F\frac{dx}{dt}$. Из уравнения

$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x={\mathrm{\Phi }}_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$

следует, что

$P(t)=F\dot{x}=(\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x)m\dot{x}$

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

$x=A\cos (\mathrm{\Omega }t-\phi )$

$\dot{x}=-A\mathrm{\Omega }\sin (\mathrm{\Omega }t-\phi )$

$\ddot{x}=-A{\mathrm{\Omega }}^2\cos (\mathrm{\Omega }t-\phi )$

то тогда средняя за период $T=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }}$ мощность:

$P=\frac{m}{T}{\int }_0^T(\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x)\dot{x}dt=A^{2}m\zeta {\omega }_0{\mathrm{\Omega }}^2$

Работа за период

$W=m{\int }_0^T(\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x)\dot{x}dt=A^{2}m\zeta {\omega }_0{\mathrm{\Omega }}^{2}T=2\pi A^{2}m\zeta {\omega }_0\mathrm{\Omega }$

Литература

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга

См. также

• Гармонический осциллятор
• Затухающие колебания