Выпуклый слой

Сферический слой с внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $R$. Справа: две половины слоя

Вы́пуклый слой — понятие комплексного анализа, раздела математики, точечное множество $C$ комплексно-вещественного пространства

${𝔼}^{2m+n}={ℂ}^m\times {ℝ}^n=$

$=\{z_1,\dots ,z_m,u_1,\dots ,u_n\},$

$m⩾1,n⩾0,m+n⩾2,$

такое, что

$C=A\setminus \overline{B}$,

где $B\subset A\subset {ℂ}^m\times {ℝ}^n$ — выпуклые ограниченные области, причём замыкание $\overline{B}\subset A$Шаблон:Sfn.

В случае, когда обе области $A$ и $B$ — концентрические сферы, то получаем частный случай выпуклого слоя — сферический слойШаблон:Sfn.

Структура выпуклого слоя

1. Вещественные проекции. Рассмотрим более подробно структуру выпуклого слоя в комплексно-вещественном пространстве

${𝔼}^{n+2}=ℂ\times {ℝ}^n=\{z,u_1,u_2,\dots ,u_n\},n⩾1,$

для чего спроектируем определённые выше точечные множества $A,B,C\subset ℂ\times {ℝ}^n$ на вещественное пространство ${ℝ}^n=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\},n⩾1.$ Получим следующие проекцииШаблон:Sfn:

• проекция выпуклой области $A$ — выпуклая область $U_A\subset {ℝ}^n$;
• проекция выпуклой области $B$ — выпуклая подобласть $U_B\subset U_A\subset {ℝ}^n$;
• проекция области $C$ — область $U_C\subset U_A\subset {ℝ}^n$.

В этом случае выпуклый слой есть снова разность двух точечных множеств $U_C=U_A\setminus \overline{U_B}$, $\overline{U_B}\subset U_A$, а при $n=1$ множество $U_C$ — два непересекающихся интервала оси $u$Шаблон:Sfn.

2. Комплексные слои. Рассмотрим структуру выпуклого слоя в комплексно-вещественном пространстве с другой стороны. Для этого представим точечные множества $A,B\subset ℂ\times {ℝ}^n$ в виде множества срезов-«слоёв»Шаблон:Sfn:

$A=\{(z,u)\in ℂ\times {ℝ}^n:u\in U_A,z\in D_A(u)\},$

$C=\{(z,u)\in ℂ\times {ℝ}^n:u\in U_A,z\in D_C(u)\}.$

В этом случае достаточно очевидно, что если $u\in U_A\setminus U_{\overline{B}}$, то оба множества $D_A(u)$ и $D_C(u)$ суть двумерные выпуклые области, а если $u\in U_{\overline{B}}$, то множество $D_C(u)$ образуется из множества $D_A(u)$ путём исключения одной точки или некоторой замкнутой кривой со своей внутренностьюШаблон:Sfn.

Сферический слой

Сферический слой с внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $R$. Справа: две половины слоя

Сферический слой — область, заключённая между двумя концентрическими сферами различных радиусовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Устаревшие синонимы: сферическая оболочкаШаблон:Sfn; шаровой слойШаблон:Sfn.

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn.

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слояШаблон:Sfn.

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество $S$ комплексного пространства ${ℂ}^n(z)$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке $a$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шарШаблон:Sfn:

$S=B(a,R)\setminus \overline{B}(a,r),$ $0<r<R$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координатШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$S=\{z\in {ℂ}^n:r<|z|<R,0<r<R\}$.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства $ℂ\times ℝ(z,u)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить следующей формулойШаблон:Sfn:

$S=\{(z,u)\in ℂ\times ℝ:r^2<|z{|}^2+u^2<R^2\}.$

Слой бикруга

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикруговШаблон:Sfn.

Слой бикруга — точечное множество $\mathrm{\Omega }$ комплексного пространства ${ℂ}^n(z)$, который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикругаШаблон:Sfn:

$\mathrm{\Omega }\equiv {\mathrm{\Delta }}^2(0,R)\setminus {\overline{\mathrm{\Delta }}}^2(0,r),$ $0<r<R.$

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H