Гекзакисикосаэдр

Гекзакисикоса́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «шестижды», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый дисдакистриаконта́эдром (от Шаблон:Lang-grc — «дважды», Шаблон:Lang-grc2 — «два раза», Шаблон:Lang-grc2 — «тридцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому икосододекаэдру.

Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами $\arccos \frac{9+5\sqrt{5}}{24}\approx 32,77^{\circ },$ $\arccos \frac{15-2\sqrt{5}}{20}\approx 58,24^{\circ }$ и $\arccos \frac{5-2\sqrt{5}}{30}\approx 88,99^{\circ }.$

Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромботриаконтаэдра), 60 «средних» и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{179+24\sqrt{5}}{241})\approx 164,89^{\circ }.$

Гекзакисикосаэдр можно получить из ромботриаконтаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в $2\sqrt{17+\frac{31\sqrt{5}}{5}}\approx 11,11$ раз меньше стороны основания.

Гекзакисикосаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисикосаэдра имеют длину $a$, то его «средние» рёбра имеют длину $\frac{3}{10}(3+\sqrt{5})a\approx 1,57a,$ а «длинные» рёбра — длину $\frac{1}{5}(7+\sqrt{5})a\approx 1,85a.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=\frac{3}{5}\sqrt{10(1257+541\sqrt{5})}{a}^2\approx 94,2346327a^2,$

$V=\frac{1}{5}\sqrt{6(14765+6602\sqrt{5})}{a}^3\approx 84,1819754a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\sqrt{\frac{3}{4820}(5795+2569\sqrt{5})}a\approx 2,6799693a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{20}(25+13\sqrt{5})a\approx 2,7034442a.$

Описать около гекзакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld