Ромбоусечённый икосододекаэдр

Ромбоусечённый икосододека́эдрШаблон:Sfn или усечённый икосододека́эдрШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности $\frac{3}{2}\pi .$

Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны $\arccos (-\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{6})\approx 159,09^{\circ },$ при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) $\arccos (-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}})\approx 148,28^{\circ },$ при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями) $\arccos (-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}})\approx 142,62^{\circ }.$

Родственный многогранник, не являющийся полуправильным.

Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.

В координатах

Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• $(\pm (\mathrm{\Phi }-1);\pm (\mathrm{\Phi }-1);\pm (\mathrm{\Phi }+3)),$
• $(\pm (2\mathrm{\Phi }-2);\pm \mathrm{\Phi };\pm (2\mathrm{\Phi }+1)),$
• $(\pm (\mathrm{\Phi }-1);\pm (\mathrm{\Phi }+1);\pm (3\mathrm{\Phi }-1)),$
• $(\pm (2\mathrm{\Phi }-1);\pm 2;\pm (\mathrm{\Phi }+2)),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };\pm 3;\pm 2\mathrm{\Phi }),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=30(1+\sqrt{3}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 174,2920303a^2,$

$V=(95+50\sqrt{5})a^3\approx 206,8033989a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{31+12\sqrt{5}}a\approx 3,8023945a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\sqrt{\frac{15}{2}+3\sqrt{5}}a\approx 3,7693771a.$

Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

$r_{10}=\frac{1}{2}\sqrt{25+10\sqrt{5}}a\approx 3,4409548a.$

Расстояния от центра многогранника до шестиугольных и квадратных граней превосходят $r_{10}$ и равны соответственно

$r_6=\frac{1}{2}\sqrt{27+12\sqrt{5}}a\approx 3,6685425a,$

$r_4=\frac{1}{2}\sqrt{29+12\sqrt{5}}a\approx 3,7360680a.$

Примечательные свойства

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга