Граф Клебша

Шаблон:Граф В теории графов под графом Клебша понимается один из двух дополняющих друг друга графов, имеющих 16 вершин. Один из них имеет 40 рёбер и является 5-регулярным графом, другой имеет 80 рёбер и является 10-регулярным графом. 80-рёберный вариант — это Шаблон:Не переведено 3 5-го порядка. Назван графом Клебша в 1968 году Шаблон:Нп3 ввиду его связи с конфигурацией прямых поверхности четвёртого порядка, открытой 1868 году немецким математиком Альфредом Клебшем. 40-рёберный вариант – это Шаблон:Нп3 5 порядка. Он известен также под именем граф Гринвуда — Глизона после работы Гринвуда и Глизона , в которой они использовали этот граф для вычисления числа Рамсея R (3,3,3) = 17 .

Построение

Шаблон:Нп3 5-го порядка (5-регулярный граф Клебша) может быть построен добавлением рёбер между противоположными вершинами графа 4-мерного гиперкуба (В n-мерном гиперкубе пара вершин противоположна, если кратчайшее расстояние между ними содержит n рёбер). Его можно построить также из графа 5-мерного гиперкуба стягиванием каждой пары противоположных вершин.

Ещё одно построение, дающее тот же граф, заключается в создании вершины для каждого элемента конечного поля GF (16) и соединении двух вершин ребром, если разность соответствующих элементов поля является кубом.

Шаблон:Нп3 5-го порядка (10-регулярный граф Клебша) — это дополнение 5-регулярного графа. Его можно также построить из вершин 5-мерного гиперкуба путём соединения пар вершин, между которыми расстояние Хэмминга равно точно двум. Это построение образует два подмножества по 16 вершин в каждом, не связанных друг с другом. Оба полученных графа изоморфны 10-регулярному графу Клебша.

Свойства

5-регулярный граф Клебша является сильно регулярным графом 5-й степени с параметрами $(v,k,\lambda ,\mu )=(16,5,0,2)$. Его дополнение, 10-регулярный граф Клебша, тоже сильно регулярен .

5-регулярный граф Клебша является гамильтоновым, непланарным и не эйлеровым. Оба графа являются 5-вершинно связными и 5-рёберно связными. Подграф, порождённый десятью вершинами, не являющихся соседями какой-либо вершины в этом графе, изоморфен графу Петерсена.

Рёбра полного графа K₁₆ можно разделить на три несвязных копии 5-регулярного графа Клебша. Поскольку граф Клебша не содержит треугольников, это показывает, что существует трёхцветное раскрашивание без треугольников рёбер графа K₁₆. Таким образом, число Рамсея R (3,3,3), описывающее минимальное число вершин в полном графе при трёхцветном раскрашивании без треугольников, не может быть меньше 17. Гринвуд и Глизон использовали это построение как часть своего доказательства равенства R (3,3,3) = 17 .

5-регулярный граф Клебша является графом Келлера размерности два, и входит в семейство графов, используемых для поиска покрытия Евклидовых пространств большой размерности гиперкубами, не имеющими общих граней.

Алгебраические свойства

Характеристический многочлен 5-регулярного графа Клебша — это $(x+3{)}^5(x-1{)}^{10}(x-5)$. Таким образом, граф Клебша является целым графом – его спектр состоит полностью из целых чисел. Граф Клебша является единственным графом с таким характеристическим полиномом.

5-регулярный граф Клебша является графом Кэли c группой автоморфизмов порядка 1920, изоморфной группе Коксетера $D_5$. Как в любом графе Кэли, группа автоморфизмов действует транзитивно на его вершины, делая его вершинно-транзитивным. Фактически он является симметричным графом, а потому он рёберно-транзитивен и дистанционно-транзитивен.

Галерея

• 
  Граф Клебша является гамильтоновым.
• 
  Шаблон:Не переведено 5 графа Клебша равно 8.
• 
  Хроматическое число графа Клебша равно 4.
• 
  Хроматический класс графа Клебша равен 5.
• 
  Конструирование графа Клебша из графа гиперкуба.