Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

$H^k(M)\cong H_{n-k}(M).$

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

$b_k(M)=b_{n-k}(M).$

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций.

Современная формулировка

Шаблон:Якорь Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий $H^k(M)$ в (n − k)-ю группу гомологий $H_{n-k}(M)$:

$D:H^k(M)\to H_{n-k}(M)$.

Этот изоморфизм двойственности Пуанкаре определяется фундаментальным классом многообразия $[M]$:

$D(\alpha )=[M]⌢\alpha$,

где $\alpha \in H^k(M)$ — коцикл, $⌢$ обозначает $⌢$-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для $k<0$ группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при $k>n$ на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через $\tau H_k(M)$ кручение группы $H_k(M)$, и $f{H}_k(M)=H_k(M)/\tau H_k(M)$ её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

$f{H}_k(M)\otimes f{H}_{n-k}(M)\to \mathbb{Z}$

и

$\tau H_k(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$

(Здесь $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп $H_k(M)$ и $H_{n-k}(M)$, коэффициент зацепления — между кручениями групп $H_k(M)$ и $H_{n-k-1}(M)$.

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

$f{H}_k(M)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(f{H}_{n-k}(M),\mathbb{Z})$

и

$\tau H_k(M)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре $H_k(M)\simeq H^{n-k}(M)$ и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства $f{H}^{n-k}(M)\equiv \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H_{n-k}(M);\mathbb{Z})$ и $\tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(H_{n-k-1}(M);\mathbb{Z})\equiv \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. Таким образом, группы $f{H}_k(M)\simeq f{H}_{n-k}(M)$ являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, $\tau H_k(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)$.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Шаблон:М: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Шаблон:М: Наука, 1989