Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.

Определение

Пусть $\phi :S^{2n-1}\to S^n$ — непрерывное отображение (предположим $n>1$). Рассмотрим CW-комплекс

$C_{\phi }=S^n{\cup }_{\phi }{D}^{2n},$

где $D^{2n}$ есть $2n$-мерный диск, приклеенный к $S^n$ по отображению $\phi$. Группы клеточных цепей $C_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{*}(C_{\phi })$ равны $\mathbb{Z}$ в размерностях 0, $n$ и $2n$, а иначе нули.

Обозначим образующие групп когомологий через

$H^n(C_{\phi })=⟨\alpha ⟩$ и $H^{2n}(C_{\phi })=⟨\beta ⟩.$

По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно $\alpha ⌣\alpha$. Таким образом, кольцо когомологий $C_{\phi }$ задаётся следующим образом

$H^{*}(C_{\phi })=\mathbb{Z}[\alpha ,\beta ]/⟨\beta ⌣\beta =\alpha ⌣\beta =0,\alpha ⌣\alpha =h(\phi )\cdot \beta ⟩.$

Целое число $h(\phi )$ и является инвариантом Хопфа отображения $\phi$.

Свойства

• Отображение $h:{\pi }_{2n-1}(S^n)\to \mathbb{Z}$ является гомоморфизмом.
  • Более того, если $n$ чётно, то образ $h$ содержит $2\mathbb{Z}$.

• Инвариант расслоений Хопфа равен $1$, где $n=1,2,4,8$, соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением $𝔸=ℝ,ℂ,ℍ,𝕆$ и расслоению $S({𝔸}^2)\to {\mathbb{P}𝔸}^1$, направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает.
  • Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории.

• Инвариант Хопфа гладкого отображения $\phi :S^{2n-1}\to S^n$, равен индексу зацепления в $:S^{2n-1}$ прообразов двух регулярных значений в $\phi$ в $\phi S^n$.

• Пусть $\omega$ — такая $n$-форма на ${𝕊}^n$, что $\underset{{𝕊}^n}{\int }\omega =1$. Tогда её понятие ${\phi }^{*}\omega$ точное, то есть ${\varphi }^{*}\omega =d\eta$ для некоторой $(n-1)$-формы $\eta$ на ${𝕊}^{2n-1}$ и следующий интеграл равен инварианту Хопфа отображения $\phi$Шаблон:Rp

  $\underset{{𝕊}^{2n-1}}{\int }\eta \wedge d\eta .$

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:SpringerEOM
• Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ