Категория 𝒪

Категория $𝒪$ — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Введение

Пусть $𝔤$ — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с Шаблон:Нп4 $𝔥$, а $\mathrm{\Phi }$ — Шаблон:Нп4 и ${\mathrm{\Phi }}^{+}$ — система положительных корней. Обозначим ${𝔤}_{\alpha }$ пространство корней соответствующее корню $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ и $𝔫:={\oplus }_{\alpha \in {\mathrm{\Phi }}^{+}}{𝔤}_{\alpha }$ — Шаблон:Нп4 подалгебра.

Если $M$ — $𝔤$-модуль и $\lambda \in {𝔥}^{*}$, то $M_{\lambda }$ is the Шаблон:Нп4

$M_{\lambda }=\{v\in M;\mathrm{\forall }h\in 𝔥h\cdot v=\lambda (h)v\}.$

Определение категории $𝒪$

Объекты категории $𝒪$ — $𝔤$-модули $M$, такие что

1. $M$ — конечнопорождённый
2. $M={\oplus }_{\lambda \in {𝔥}^{*}}{M}_{\lambda }$
3. $M$ локально $𝔫$-конечен, т.е., для каждого $v\in M$, $𝔫$-модуль порождённый $v$ — конечномерный.

Морфизмы этой категории — $𝔤$-гомоморфизмы этих модулей.

Базовые свойства

• У каждого модуля в категории $𝒪$ есть конечнопорождённое Шаблон:Нп4.
• Каждый модуль в категории $𝒪$ — Нётеров модуль.
• $𝒪$ — абелева категория
• У $𝒪$ есть достаточно много проективных и инъективных объектов.
• $𝒪$ замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам
• Объекты в $𝒪$ $Z(𝔤)$-конечны, т.е., если $M$ объект и $v\in M$, то подпространство $Z(𝔤)v\subseteq M$ порождённое $v$ под действием Шаблон:Нп4 универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.

Примеры

• Все конечномерные $𝔤$-модули и их $𝔤$-гоморфизмы принадлежат категории $𝒪$.
• Шаблон:Нп4 и Шаблон:Нп4 и их $𝔤$-гомоморфизмы принадлежат категории $𝒪$.

См. также

• Универсальная обёртывающая алгебра
• Шаблон:Нп4

Литература

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback