Квадратный корень из 5

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа Шаблон:Sqrt
Десятичная	2.23606797749978969…
Двоичная	10.0011110001101111…
Двенадцатеричная	2.29BB1325405891918…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Шестидесятеричная	2;14 09 50 40 59 18 …
Рациональные приближения	7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots }}}}$

Шаблон:Врезка Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт Шаблон:Num1. Это иррациональное и алгебраическое число.

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

$\frac{2}{1},\frac{7}{3},\frac{9}{4},\frac{20}{9},\frac{29}{13},\frac{38}{17},\frac{123}{55},\frac{161}{72},\frac{360}{161},\frac{521}{233},\frac{682}{305},\frac{2207}{987},\frac{2889}{1292},\dots$

Через бесконечный вложенный радикал: $\sqrt{5}=\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}\dots$

Вавилонский метод

Вычисление корня из $5$, начиная с $r_0=2$, где $r_{n+1}=\frac{r_n+\frac{5}{r_n}}{2}$:

$\frac{2}{1}=2.0,\frac{9}{4}=2.25,\frac{161}{72}=2.23611\dots ,\frac{51841}{23184}=2.2360679779\dots$

Золотое сечение

$\sqrt{5}/2$ — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение $\mathrm{\Phi }$ — среднее арифметическое Шаблон:Num1 и корня из 5. ($\phi =1/\mathrm{\Phi }$) алгебраически можно выразить так:

$\sqrt{5}=\phi +\mathrm{\Phi }=2\phi +1=2\mathrm{\Phi }-1$

$\phi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.$

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

$F\left(n\right)=\frac{{\mathrm{\Phi }}^n-(1-\mathrm{\Phi }{)}^n}{\sqrt{5}}.$

Отношение √5 к $\mathrm{\Phi }$ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:

$\frac{\sqrt{5}}{\mathrm{\Phi }}=\phi \cdot \sqrt{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

$\frac{\mathrm{\Phi }}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\phi \cdot \sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].$

$1,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{7}{5},\frac{11}{8},\frac{18}{13},\frac{29}{21},\frac{47}{34},\frac{76}{55},\frac{123}{89},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

$1,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{7},\frac{8}{11},\frac{13}{18},\frac{21}{29},\frac{34}{47},\frac{55}{76},\frac{89}{123},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].$

Алгебра

Кольцо $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ содержит числа вида $a+b\sqrt{-5}$, где a и b целые числа и $\sqrt{-5}=i\sqrt{5}$ — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

$6=2\cdot 3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}).$

Поле $\mathbb{Q}\left[\sqrt{5}\right]$ — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

$\sqrt{5}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.$

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi ).$

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1+{[5^{3/4}(\phi -1{)}^{5/2}-1]}^{1/5}}-\phi )e^{2\pi /\sqrt{5}}.$

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{e}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}dx=\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3^2}{1+\ddots }}}}}}}.$

Доказательство иррациональности

Докажем, что число $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число $\sqrt{5}$ можно представить в виде несократимой дроби $\frac{n}{m}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное:

$\sqrt{5}=\frac{n}{m}\Rightarrow 5=\frac{n^2}{m^2}\Rightarrow 5m^2=n^2$

$n^2$ делится на $5$, значит, $n$ тоже делится на $5$; следовательно, $n^2$ делится на $25$, а значит, $m$ и $m^2$ делится на $5$. То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и $\sqrt{5}$ — иррациональное число.

См. также

• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3

Ссылки

• Proof that square root of 5 is irrationalШаблон:Недоступная ссылкаШаблон:Ref-en
• Theodorus' Constant Шаблон:Wayback at MathWorld