Квазилинейная полезность

Квазилинейная функция полезности (Шаблон:Lang-en) линейна по одному из своих аргументов, обычно — по счётным деньгам (Шаблон:Lang-en). Квазилинейные предпочтения можно выразить функцией

$u(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1+\theta (x_2,\dots ,x_n)$,

где $\theta$ является строго вогнутойШаблон:Rp. Подобная функция обладает удобным свойством: маршалловский спрос на блага $x_2,\dots ,x_n$ не зависит от уровня благосостояния и, следовательно, не подвержен эффекту богатстваШаблон:Rp. Отсутствие эффекта облегчает анализШаблон:Rp, что делает квазилинейную полезность популярным средством моделирования. Более того, если полезность квазилинейна, то компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и потребительский излишек равныШаблон:Rp. В дизайне механизмов квазилинейная полезность позволяет агентам совершать сторонние платежи.

Определение в терминах предпочтений

Отношение предпочтения $\succsim$ квазилинейно по товару 1, если:

• все множества безразличия образуются параллельным смещением вдоль оси товара 1. Если потребитель индифферентен между наборами товаров x и y (x~y), то $(x+\alpha e_1)\sim (y+\alpha e_1),\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,e_1=(1,0,...,0)$;
• товар 1 имеет положительную полезность: $(x+\alpha e_1)\succ \left(x\right),\mathrm{\forall }\alpha >0$

Иначе говоря, отношение предпочтения квазилинейно, если существует один товар, двигает множества безразличия, сохраняя расстояния между точками безразличия и наклон в каждой точке. В двумерном случае квазилинейность означает, что кривые безразличия параллельны.

Определение в терминах функций полезности

Если функция полезности квазилинейна по товару 1, то она принимает форму

$u\left(x\right)=x_1+\theta (x_2,...,x_L)$,

где $\theta$ есть функция. В двумерном случае это, например, $u\left(x\right)=x_1+\sqrt{x_2}.$.

Квазилинейная форма характерна для таких функций спроса, которые зависят только от цен и не зависят от уровня благосостояния. Скажем, если

$u(x,y)=x+\theta (y)$

тогда спрос на y выводится из уравнения

${\theta }^{\prime }(y)=p_y$,

так что

$y(p,I)=({\theta }^{\prime }{)}^{-1}(p_y),$,

и это выражение не зависит от уровня благосостояния I.

Косвенная функция полезности тогда имеет видШаблон:Rp

$v(p,I)=v(p)+I,$.

Эквивалентность определений

Кардиналистский и ординалистский подходы к определению квазилинейной полезности эквивалентны при выпуклости потребительского множества и непрерывных предпочтениях, которые локально ненасыщаемы по первому аргументу.

См. также

• Квазивыпуклая функция