Квантование Дирака

Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом Шаблон:Math, если допустить существование скачка Шаблон:Math на некоторой (произвольной) поверхности Шаблон:Math, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части. При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности Шаблон:Math всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка Шаблон:Math по любому контуру, лежащему на Шаблон:Math и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) его магнитному заряду Шаблон:Math. Контурный интеграл от 4-вектора Шаблон:Math даёт вклад в фазу Шаблон:Math волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом Шаблон:Math, и скачок Шаблон:Math, соответствующий скачку Шаблон:Math на поверхности Шаблон:Math, равен $\mathrm{\Delta }\phi =eg/\hslash c.$ При выполнении условия Дирака $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n,$ так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок Шаблон:Math не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность Шаблон:Math ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене $l(l+1)$ на $l(l+1)-1/4n^2$ (Шаблон:Math — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера, при этом орбитальный угловой момент $l$ может принимать значения

$l_n=\frac{1}{2}|n|;\frac{1}{2}|n|+1;\frac{1}{2}|n|+2;...$

$l_1=1/2;3/2;5/2;...$ при $n=1,$

$l_2=1;2;3;...$ при $n=2,$

$l_3=3/2;5/2;7/2;...$ при $n=3,$

$l_4=2;3;4;...$ при $n=4.$

Заметим, что при нечётном Шаблон:Math система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, т.е. фермион. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.