Квантовая томография

Квантовая томография — часть квантовой информатики. Квантовая томография занимается восстановлением амплитуд квантового состояния по результатам его многократных измерений, и нахождением оптимальных схем таких измерений. Если ${\lambda }_0,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{N-1}$ — набор комплексных чисел, сумма квадратов модулей которых равна 1, то по ним однозначно можно построить квантовое состояние вида

$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{j=0}^{N-1}{\lambda }_j|j⟩$

Томография решает обратную задачу: по данному состоянию $|\mathrm{\Psi }⟩$ восстановить всё ${\lambda }_j$. Для этого необходимо производить измерение состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ в разных базисах, то есть для каждого нового измерения необходимо иметь новое, свежеприготовленное состояние $|\mathrm{\Psi }⟩$. Имея только один экземпляр состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$, нельзя определить его амплитуды ${\lambda }_j$ со сколько-нибудь приемлемой точностью. Это следует из оценки на объём классической информации, которую можно извлечь из квантового состояния, а также из следующей теоремы.

Теорема о запрете клонирования квантовых состояний

Не существует унитарного оператора, способного перевести состояние $|\mathrm{\Psi }⟩|\overline{0}⟩$ в состояние $|\mathrm{\Psi }⟩|\mathrm{\Psi }⟩$.

Подбор базиса измерения

Если измерять многократно состояние $|\mathrm{\Psi }⟩$ в стандартном базисе $|0⟩,|1⟩,\dots$, можно получить значения модулей амплитуд со сколь угодно высокой точностью, в силу правила Борна. Для получения фаз амплитуд необходимо измерять не в стандартном базисе, а в базисе, полученном, например, однокубитовыми преобразованиями (так называемые измерения в незапутанном базисе). Измерения в базисах, состоящих из запутанных состояний, способны дать больший эффект, но их трудно реализовать.

История термина

Томография (томо — сечение) представляет собой восстановление определённого состояния по его сечениям. В квантовой механике состояние представляет собой вектор $|\mathrm{\Psi }⟩$ в гильбертовом пространстве многочастичных квантовых состояний, а сечение — его проекция на одну из координатных осей, называемая измерением. Процесс воссоздания амплитуд формулируется на алгебраическом языке; его можно уподобить обратному преобразованию Радона в обычной компьютерной томографии.