Кольцо Куммера

В общей алгебре кольцо Куммера $\mathbb{Z}[\zeta ]$ — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

$n_0+n_1\zeta +n_2{\zeta }^2+...+n_{m-1}{\zeta }^{m-1}$

где $\zeta$ — корень степени m из единицы, то есть $\zeta =e^{2\pi i/m}$, и все $n_k$ целые.

Кольцо Куммера является расширением $\mathbb{Z}$ кольца целых, отсюда и обозначение $\mathbb{Z}[\zeta ]$. Поскольку минимальным многочленом для $\zeta$ является m-й круговой многочлен, кольцо $\mathbb{Z}[\zeta ]$ является расширением степени $\varphi (m)$, где $\varphi$ обозначает функцию Эйлера.

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит $\{1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{m-1}\}$. По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, за исключением случаев $m=1,2$ (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая $m=4$ (гауссовы целые числа) и случаев $m=3,6$ (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

См. также

• Теория Куммера
• Круговое поле

Ссылки

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149