Теорема Дирихле о единицах

Шаблон:Значения Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых ${𝒪}_K$ числового поля $K$.

Формулировка

Пусть $K$ — числовое поле (т. е., конечное расширение $\mathbb{Q}$), а ${𝒪}_K$ — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов ${𝒪}_K$ равен $d=r+s-1$, где $r$ — число различных вложений $K$ в поле вещественных чисел $ℝ$, а $s$ — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в $ℂ$, не являющихся чисто вещественными.

Замечания

• Другими словами, в кольце ${𝒪}_K$ поля $K$ степени $n=r+2s$ существуют такие единицы ${\epsilon }_1,...,{\epsilon }_d,d=r+s-1$, что каждая единица $\epsilon \in {𝒪}_K$ однозначно представляется в виде

  $\epsilon =\zeta {\epsilon }_1^{a_1},...,{\epsilon }_d^{a_d},$

где $a_1,...,a_d$ - целые числа, а $\zeta$ - некоторый корень из 1, содержащийся в ${𝒪}_K$

• Единицы ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_d$, существование которых устанавливает теорема Дирихле, называются основным единицами кольца ${𝒪}_K$.

• Если $K=\mathbb{Q}(\theta )$, где $\theta$ — корень неприводимого многочлена $f(x)$, имеющего корни ${\theta }_1,...,{\theta }_n$, то вложение ${\sigma }_i:K=\mathbb{Q}(\theta )\to \mathbb{Q}({\theta }_i)\subset ℂ$ - вещественное тогда и только тогда, когда ${\theta }_i$ - действительный корень уравнения $f(x)=0$.

Схема доказательства

По условию есть $r$ вещественных изоморфизмов ${\sigma }_1,...,{\sigma }_r$ и $2s$ комплексных ${\sigma }_{r+1},{\overline{\sigma }}_{r+1},...,{\sigma }_{r+s},{\overline{\sigma }}_{r+s}$. Для доказательства элементы поля изображаются в двух пространствах: линейном $L$ и логарифмическом $A$.

$L$ - пространство строк вида $(x_1,...,x_r,x_{r+1},...,x_{r+s})$, где $x_1,...,x_r\in ℝ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in ℂ$ с покомпонентным сложением и умножением. Определим $x:K\to L$ как $x(\alpha )=({\sigma }_1(\alpha ),...,{\sigma }_r(\alpha ),{\sigma }_{r+1}(\alpha ),...,{\sigma }_{r+s}(\alpha ))$, вложение инъективно. В $L$ образ поля $K$ представляет собой некоторую дискретную решётку - множество элементов вида $a_1{e}_1+...+a_n{e}_n$, где $a_j\in \mathbb{Z}$, а $e_i$ - некоторый базис решётки.

Пространство $A$ устроено так: $l:L\to A$, $l(x)=\overline{\lambda }=({\lambda }_1,...,{\lambda }_{s+r})$, $l_k(x)=\ln |x_k|,k=1,...,r$, $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}{|}^2,k=1,...,s$. $l(xy)=l(x)+l(y)$ - переводит умножение в сложение. Если $N(\alpha )$ - норма $\alpha$, то $\ln N(\alpha )=\sum _{k=1}^{r+s}{l}_k(x(\alpha ))$.

Далее рассматривается группа единиц (обратимых элементов) $E$ поля $K$. Множество $W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\}$ - группа по умножению. Если $l(\alpha )=0$, то $(\mathrm{\forall }k)|x_k(\alpha )|=|{\sigma }_k(\alpha )|=1$, т.е. множество $x(W)$ ограничено, значит оно конечно, значит $W$ состоит из корней из 1 и является подгруппой $E$. Если же $\epsilon$ - произвольная единица, то $N(\epsilon )=1$, $\ln |N(\epsilon )|=0$, $\sum _{k=1}^{r+s}{l}_k(\alpha )=0$. Это уравнение определяет гиперплоскость $ℒ$ размерности $r+s-1$. Образ $l(x(E))$ - решётка в $A$, так как $l(x(E))$ - группа по сложению и дискретна как непрерывный образ дискретной решётки $x(E)$.

Таким образом, любая единица $\epsilon =\zeta {\epsilon }_1^{a_1}...{\epsilon }_d^{a_d}$, $\zeta$ - корень из 1, $d⩽r+s-1$. Остается доказать, что ранг $E$ равен именно $r+s-1$, или что $l(x(E))$ - полная решётка в $ℒ$. Решётка в пространстве полна тогда и только тогда в пространстве есть ограниченное множество, сдвиги которого на все векторы решётки полностью заполняют все пространство. Для доказательства используется лемма Минковского о выпуклом теле. В качестве тела леммы берется множество $X:|x_k|<c_k,k=1,...,s,|x_{r+k}{|}^2<c_{r+k},k=1,...,s$ в $L$. Его объём равен $2^s{\pi }^t{c}_1\cdot ...\cdot c_{r+s}$. Применение леммы Минковского дает следующее следствие:

Если объём основного параллелепипеда, натянутого на базисные векторы решётки $x({𝒪}_K)$, равен $\mathrm{\Delta }$ и числа $c_k>0$ таковы, что $c_1\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi {)}^t\mathrm{\Delta }$, то в решётке $x({𝒪}_K)$ есть ненулевой вектор $x$ такой, что $|x_k|<c_k,k=1,...,r,|x_{r+k}{|}^2<c_{r+k},k=1,...,s$.

Для любого $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \ne 0$, имеем $0⩽{\lambda }_1+...+{\lambda }_{r+s}<Q$. Обозначим $ℐ=\{\overline{\lambda }:{\lambda }_1+...+{\lambda }_{r+s}=\ln Q\}$ - гиперплоскость, параллельная $ℒ$. Пусть ${\overline{\lambda }}^0\in ℐ$ - произвольна, а $c_k:{\lambda }_k^0=\ln c_k$. Если $Q>(4/\pi {)}^t\mathrm{\Delta }$ - достаточно велико, то $c_1\cdot ...\cdot c_k>(4/\pi {)}^t\mathrm{\Delta }$, и значит по следствию выше из леммы Минковского существует $\alpha \in {𝒪}_K,\alpha \ne 0$ такое, что $|{\sigma }_k(\alpha )|<c_k,k=1,...,r,|{\sigma }_{r+k}(\alpha ){|}^2<c_{r+k},k=1,...,s$, то есть $N(\alpha )<Q$, $l_k(\alpha )<{\lambda }_k^0,k=1,...,r+s$.

Обозначим для произвольного $\alpha :N(\alpha )<Q$ вышеупомянутое множество $\{\overline{\lambda }:{\lambda }_k>l_k(\alpha )\}$ как $Y_{\alpha }$. Ясно, что все множества $Y_{\alpha }$ ограничены. $Y_{\alpha \epsilon }=Y_{\alpha }+l(\epsilon )$, т.е. $Y_{\alpha \epsilon }$ получается сдвигом $Y_{\alpha }$ на вектор $l(\epsilon )$

В ${𝒪}_K$ существует только конечное число попарно неассоциированных чисел ${\alpha }_1,...,{\alpha }_N$, нормы которых по модулю меньше $Q$, то есть если $N(\alpha )<Q$, то $\alpha ={\alpha }_i\epsilon$ для какой-то единицы $\epsilon$. Поскольку $Y_{\alpha }$ покрывают все $ℐ$, а $Y_{\alpha }=Y_{{\alpha }_i}+l(\epsilon )$, значит сдвиги ограниченного множества $Y=Y_{{\alpha }_1}\cup ...\cup Y_{{\alpha }_N}$ на все векторы $l(\epsilon )$ покроют все $ℐ$. Значит сдвиги ограниченного множества $U=Y-\frac{\ln Q}{r+s}(1,1,...,1)$ на все векторы $l(\epsilon )$ покроют все $ℒ$, что доказывает теорему.

Вариации и обобщение

• Поскольку для расширения степени Шаблон:Mvar выполнено $r+2s=n$, то $d⩽n-1$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения $K$ в $ℂ$ чисто вещественные.

• Группа единиц поля исчерпывается корнями из 1 тогда и только тогда, когда $r+s=1$, т.е. для $K=\mathbb{Q}$ и для $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ — мнимого квадратичного расширения. Во всех остальных случаях всегда имеется как минимум одна основная единица.

• Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля $x^2-m{y}^2=1$ выводится из этой теоремы, применённой к $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ — квадратичному расширению $\mathbb{Q}$.

• Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан с многомерными цепными дробями.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга