Кошмар Фубини

Кошмар Фубини — название кажущегося нарушения теоремы Фубини в не-абсолютно непрерывных слоениях с гладкими слоями. Состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является абсолютно непрерывным.

Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для частично-гиперболических динамических систем «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь гёльдерово, но не абсолютно непрерывно.

Иллюстративная версия кошмара Фубини была предложена Анатолием Борисовичем Катком и опубликована Джоном Милнором. Динамическая реализация такого примера была построена для случая центрального слоения в работе Эмили Вилкинсон и Майкла Шуба.

Конструкция Катка

Слоение

Для любого $p,0<p<1,$ можно рассмотреть кодирование точек отрезка $[0,1]$ последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении $(1-p):p$. (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление $0$ с хвостом из единиц и $1$ с хвостом из нулей.)

Точка, кодирующаяся данной последовательностью $(a_1,a_2,...)\in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}},$, может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых $n$ делений, имеет длину $l_n=p^{\mathrm{\#}\{j\le n:a_j=1\}}(1-p{)}^{\mathrm{\#}\{j\le n:a_j=0\}},$ поэтому соответствующая точка равна

$F_p(a_1,a_2,\dots )=\sum _{n:a_n=1}{a}_n(1-p)l_{n-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{p}^{\mathrm{\#}\{j\le n-1:a_j=1\}}(1-p{)}^{1+\mathrm{\#}\{j\le n-1:a_j=0\}}.$

Слоение Катка

Для фиксированной последовательности $a\in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ отображение $p\mapsto F_p(a)$ аналитично. Последнее следует из теоремы Вейерштрасса так как ряд задающий $p\mapsto F_p(a)$ сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов $\{|p|<1\}\cap \{|1-p|<1\}\subset ℂ$.

Поэтому разбиение квадрата $(0,1)\times [0,1]$ на графики по переменной $p$ отображений $F_p(a)$ — кривые ${\gamma }_a=\{(p,F_p(a))\mid p\in (0,1)\}$, с параметром $a$, пробегающим $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$, — слоение на аналитические кривые.

Множество

При любом фиксированном $p$, цифры $a_1={\xi }_1(x;p),a_2={\xi }_2(x;p),...$ кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки $x\in [0,1]$ — независимые бернуллевские случайные величины, принимающие значение $1$ с вероятностью $p$ и $0$ с вероятностью $1-p$.

В силу закона больших чисел, при любом $p$ для почти всех $x$ выполнено

$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j(x;p)\to p,n\to \mathrm{\infty }.$

Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество

$M:=\{(p,x)\mid \frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j(x;p)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}p.\}$

имеет полную меру Лебега в квадрате $(0,1)\times [0,1]$.

Однако для любой фиксированной последовательности $(a_i)$ предел её чезаровских средних, если он существует, единственнен. Поэтому любая кривая ${\gamma }_a$ либо вообще не пересекает множество $M$ (если предела нет), либо пересекает в единственной точке $(p,F_p(a)),$ где

$p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+\dots +a_n}{n}.$

Таким образом, для построенных слоения и множества $M$ имеет место «кошмар Фубини».

Конструкция Вилкинсон — Шуба

Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма $A\times id$ трёхмерного тора $T^3=T^2\times S^1$, где $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right):T^2\to T^2$ — диффеоморфизм Аносова. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.

Возмущение Вилкинсон — Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм эргодичным, но при этом центральный показатель Ляпунова становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в $T^3$ полную меру Лебега.

С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что, более того, это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».