Кривая Бринга

Кривая Бринга (также называемая поверхностью Бринга) — кривая, задаваемая выражением

$v+w+x+y+z=v^2+w^2+x^2+y^2+z^2=v^3+w^3+x^3+y^3+z^3=0.$

Ранний рисунок кривой Бринга в виде мозаики на полу, созданной Паоло Уччелло, 1430

Название кривой дал КляйнШаблон:Sfn по имени Эрланда Самуэля Бринга, который изучал похожую конструкцию в 1786 году в тезисах диссертации, представленной в Лундском университете.

Автоморфизмами кривой служит симметрическая группа S₅ порядка 120, задаваемая перестановками 5 координат. Это максимально возможная группа автоморфизмов комплексной кривой 4 рода.

Кривая может быть реализована как Шаблон:Нп5 сферы, разветвлённое в 12 точках, и является римановой поверхностью, связанной с малым звёздчатым додекаэдром. Поверхность имеет 4 род. Полная группа симметрий (включая отражения) является прямым произведением $S_5\times {\mathbb{Z}}_2$, которое имеет порядок 240.

Фундаментальная область и систола

Кривая Бринга может быть получена как поверхность Римана путём отождествления сторон гиперболического двадцатиугольника (см. Шаблон:Нп5), его рисунок приведён справа. Двадцатиугольник (площади $12\pi$, по формуле Гаусса — Бонне) может быть выложен с помощью 240 (2,4,5) треугольников. Действия, которые переносят один из этих треугольников в другой дают полную группу автоморфизмов поверхности (включая отражения). Если игнорировать отражения, получим 120 автоморфизмов, упомянутых выше. Заметим, что 120 меньше 252, максимального числа сохраняющих ориентацию автоморфизмов, возможных для поверхности рода 4 согласно теореме Гурвица об автоморфизмах. Поэтому поверхность Бринга не является поверхностью Гурвица. Это также говорит о том, что не существует поверхности Гурвица рода 4.

Фундаментальный двадцатиугольник поверхности Бринга, дополненный отождествлениями сторон.

Полная группа симметрий имеет следующее представление:

$⟨r,s,t|r^5=s^2=t^2=rtrt=stst=(rs{)}^4=(s{r}^{3}s{r}^2{)}^2=e⟩$,

где $e$ есть тождественное действие, $r$ является вращением порядка 5 вокруг центра фундаментального многоугольника, $s$ является вращение порядка 2 в вершине, где 4 (2,4,5) треугольника встречаются в мозаике, а $t$ является отражение относительно вещественной оси. Исходя из этого представления информация о линейном представлении группы симметрии поверхности Бринга может быть вычислено с помощью GAP. В частности, группа имеет четыре одномерных, четыре четырёхмерных, четыре пятимерных и два шестимерных неприводимых представления и мы имеем

$4(1^2)+4(4^2)+4(5^2)+2(6^2)=4+64+100+72=240$

как и ожидалось.

Шаблон:Нп5 поверхности имеет длину

$12{\sinh }^{-1}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}\right)\approx 4,60318.$

Аналогично квартике Клейна поверхность Бринга не максимизирует длину систолы среди компактных римановых поверхностей в своей топологической категории (то есть среди поверхностей, имеющих тот же род), несмотря на максимизацию размера группы автоморфизмов. Систола (по видимому) максимизируется поверхностью, обозначенной как M4 в статье ШмутцаШаблон:Sfn. Длина систолы M4 равна

$2{\cosh }^{-1}(\frac{1}{2}(5+3\sqrt{3}))\approx 4,6245,$

и имеет кратность 36.

Спектральная теория

Мало что известно о спектре поверхности Бринга, однако это направление исследований представляет интерес. Поверхность Больцы и квартика Кляйна имеют наибольшие группы симметрии среди компактных римановых поверхностей отрицательной кривизны рода 2 и 3 соответственно, а тогда была высказана гипотеза что они максимизируют первое положительное собственное значение в спектре лапласиана. Имеется сильное числовое свидетельство в поддержку этой гипотезы, в частности, в случае поверхности Больцы, хотя строгое доказательство остаётся открытой проблемой. Согласно этому можно обоснованно высказать гипотезу, что поверхность Бринга максимирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа (среди поверхностей в топологическом классе).

См. также

• Поверхность Больцы
• Шаблон:Нп5
• Поверхность Макбита
• Шаблон:Нп5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья