Линеаризация обратной связью

Линеариза́ция обра́тной свя́зью - способ приведения системы, абстрактно описываемой в виде $\mathrm{\Delta }x=F(x)+G(x)*u$ к виду $\mathrm{\Delta }x=v,$ где $v$ - некоторое внешнее управляющее воздействие. При этом нелинейная система становится линейной, а внешнее управление предусмотрено для стабилизации и управления оставшейся линейной частью системы.

В качестве закона управления обычно применяют $u=G(x{)}^{-1}*(v-F(x)),$ этот закон управления часто приводит к цели управления, если функция $G(x{)}^{-1}$ вычислима.

Линеаризация обратной связью скалярной системы

Рассмотрим случай линеаризации обратной связью системы с одним входом и одним выходом. Похожие результаты могут быть получены для систем с несколькими входами и выходами. Пусть исходная система представлена в виде:

$\begin{array}{ccc}\dot{x}& =f(x)+g(x)u& (1)\\ y& =h(x)& (2)\end{array}$

где $x\in {ℝ}^n$ вектор состояния системы,

$u\in ℝ$ вход,

$y\in ℝ$ выход.

Найдём преобразование $z=T(x)$ преобразующее систему к нормальной форме:

$u=a(x)+b(x)v,$

теперь система представлена в форме вход-выход по отношению к новому входу $v\in ℝ$ и выходу $y$. Для того, чтобы преобразованная система была эквивалентна исходной, преобразование должно быть диффеоморфизмом, то есть, быть не только однозначным но и гладким. Практически, преобразование может быть локальным диффеоморфизмом, но тогда результаты линеаризации сохраняются только в этой локальной области.

Производная Ли

Задача линеаризации обратной связью состоит в построении преобразованной системы, состояния которой — выход $y$ и его первые $(n-1)$ производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции:

$\begin{array}{cc}\dot{y}=\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}\dot{x}\\ & =\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}f(x)+\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}g(x)u\end{array}.$

Теперь мы можем определить производную Ли от $h(x)$ через $f(x)$ как:

$L_{f}h(x)=\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}f(x),$

и, аналогично, производную Ли от $h(x)$ через $g(x)$ как:

$L_{g}h(x)=\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}g(x).$

Введя данные обозначения, определяем $\dot{y}$ как:

$\dot{y}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.$

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например:

$L_f^{2}h(x)=L_f{L}_{f}h(x)=\frac{\mathrm{d}(L_{f}h(x))}{\mathrm{d}x}f(x)$

и

$L_g{L}_{f}h(x)=\frac{\mathrm{d}(L_{f}h(x))}{\mathrm{d}x}g(x).$

Относительная степень

В линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной $y$ и её первых $(n-1)$ производных. Необходимо понять как вход $u$ вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень $r\in 𝕎$ в точке $x_0$ если:

$L_g{L}_f^{k}h(x)=0\mathrm{\forall }x$ в окрестности $x_0$ для всех $k\le r-2$:

$L_g{L}_f^{r-1}h(x_0)\ne 0$

Таким образом, относительной степенью системы по выводу $y$ можно считать то количество раз, которое нужно продифференцировать по времени выход $y$ до момента, когда управление $u$ появится в выходном сигнале $y$ явно.

В то же время в теории линейных стационарных систем относительная степень — это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Линеаризация обратной связью

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна $n$. В этом случае, дифференцируя выход $n$ раз, имеем:

$\begin{array}{cc}y& =h(x)\\ \dot{y}& =L_{f}h(x)\\ \ddot{y}& =L_f^{2}h(x)\\ & ⋮\\ y^{(n-1)}& =L_f^{n-1}h(x)\\ y^{(n)}& =L_f^{n}h(x)+L_g{L}_f^{n-1}h(x)u\end{array},$

где $y^{(n)}$ означает $n$ю производную от $y$.

Учитывая, что относительная степень системы равна $n$, производные Ли формы $L_g{L}_f^{i}h(x)$ for $i=1,\dots ,n-2$ все равны нулю. Это означает, что вход $u$ не вносит прямого вклада в любую из $(n-1)$ первых производных.

Преобразование $T(x)$, приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых $(n-1)$ производных. В частности:

$z=T(x)=\left[\begin{array}{c}{z}_1(x)\\ z_2(x)\\ ⋮\\ z_n(x)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\\ ⋮\\ y^{(n-1)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}h(x)\\ L_{f}h(x)\\ ⋮\\ L_f^{n-1}h(x)\end{array}\right]$

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат $x$ в новую $z$. Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве $z$, который также будет гладким. Данные траектории в пространстве $z$ описывают новую систему:

$\{\begin{array}{cc}{\dot{z}}_1& =L_{f}h(x)=z_2(x)\\ {\dot{z}}_2& =L_f^{2}h(x)=z_3(x)\\ & ⋮\\ {\dot{z}}_n& =L_f^{n}h(x)+L_g{L}_f^{n-1}h(x)u\end{array}.$

Таким образом, закон управления обратной связи $u=\frac{1}{L_g{L}_f^{n-1}h(x)}(-L_f^{n}h(x)+v)$ является линейной передаточной функцией от $v$ к $z_1=y$.

Получаемая в результате линеаризованная система:

$\{\begin{array}{cc}{\dot{z}}_1& =z_2\\ {\dot{z}}_2& =z_3\\ & ⋮\\ {\dot{z}}_n& =v\end{array}$

представляет собой каскад из $n$ интеграторов, и управление $v$ может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем. В частности, закон управления $v=-Kz,$ где вектор состояния $z$ включает выход $y$ и его первые $(n-1)$ производные, что в результате даёт линейную систему

$\dot{z}=Az,$

где

$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ -k_1& -k_2& -k_3& \dots & -k_n\end{array}\right].$

Таким образом, выбирая соответствующие $k$, можно произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.

Литература

• Андреев Ю. И. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.
• Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.
• Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1983.
• Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. Пер. с англ. / Под ред. Цыпкина Я. З. — М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1991.
• Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, Физматлит, 1992.
• Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. — М.: Наука, 1997.
• Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3rd edition, Springer Verlag, London, 1995.
• H. K. Khalil H. K. Nonlinear Systems, 3rd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
• Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2nd edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
• Friedland B. Advanced Control System Design, facsimile edition, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

См. также

• Нелинейное управление