Матрица Гильберта

В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

$H_{ij}=\frac{1}{i+j-1},i,j=1,2,3,...,n$

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

$H=\left[\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}& \frac{1}{9}\end{array}\right].$

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

$H_{ij}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{i+j-2}dx,$

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно ${\Vert \cdot \Vert }_2$ - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 10⁵.

История

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что Шаблон:Nowrap — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x{)}^{2}dx$

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала Шаблон:Nowrap.

Свойства

• Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.

• Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.

• Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен

$\det (H)=\frac{c_n^4}{c_{2n}},$

где

$c_n=\prod _{i=1}^{n-1}{i}^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность Шаблон:OEIS2C в OEIS). Он следует из равенства

$\frac{1}{\det (H)}=\frac{c_{2n}}{c_n^4}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{[i/2]}).$

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

$\det (H)\approx a_n{n}^{-1/4}(2\pi {)}^n{4}^{-n^2}$

где a_n сходится к константе $e^{1/4}{2}^{1/12}{A}^{-3}\approx 0.6450$ при $n\to \mathrm{\infty }$, где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.

• Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:

$(H^{-1}{)}_{ij}=(-1{)}^{i+j}(i+j-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i-1}{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j-1}{n-i}){(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j-2}{i-1})}^2$

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы $H^{-1}$ — целые числа.

• Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как $O((1+\sqrt{2}{)}^{4n}/\sqrt{n})$.

Ссылки

• Шаблон:Citation. Перепечатано в Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга