Матрица Коши (линейная алгебра)

В математике матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это матрица размера m × n с элементами вида

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1⩽i\le m,1⩽j\le n,$

где $x_i$ и $y_j$ являются элементами поля $ℱ$, а последовательности $(x_i)$ и $(y_j)$ таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при

$x_i-y_j=i+j-1.$

Каждая подматрица (матрица, получающаяся вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.

Определители Коши

Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров $(x_i)$ и $(y_j)$. Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые $x_i$ стремятся к $y_j$ , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известна. На самом деле других нулей и полюсов нет.

Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:

$det𝐀=\frac{\prod _{i=2}^n\prod _{j=1}^{i-1}(x_i-x_j)(y_j-y_i)}{\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(x_i-y_j)}$     (Schechter 1959, eqn 4).

Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A⁻¹ = B = [b_ij] имеет вид:

$b_{ij}=(x_j-y_i)A_j(y_i)B_i(x_j)$     (Schechter 1959, Theorem 1)

где A_i(x) и B_i(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей $(x_i)$ и $(y_j)$, соответственно. То есть

$A_i(x)=\frac{A(x)}{A^{\prime }(x_i)(x-x_i)}$ и $B_i(x)=\frac{B(x)}{B^{\prime }(y_i)(x-y_i)},$

где

$A(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)$ и $B(x)=\prod _{i=1}^n(x-y_i).$

Обобщение

Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид

$C_{ij}=\frac{r_i{s}_j}{x_i-y_j}.$

Обозначив X=diag(x_i), Y=diag(y_i), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:

$𝐗𝐂-𝐂𝐘=r{s}^{\mathrm{T}}$

(в случае матриц Коши $r=s=(1,1,\dots ,1)$). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для

• приближённого умножения матрицы Коши на вектор за $O(n\log n)$ операций,
• LU-разложение за $O(n^2)$ операций (алгоритм GKO), и соответствующий алгоритм решения систем линейных уравнений с такими матрицами,
• неустойчивые алгоритмы для решения систем линейных уравнений за $O(n{\log }^{2}n)$ операций.

Через $n$ обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).

См. также

• Матрица Тёплица

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья