Матрица кватернионов

Матрица кватернионов — это матрица, элементами которой являются кватернионы.

Матричные операции

Кватернионы образуют некоммутативное кольцо и, таким образом, сложение и умножение матриц кватернионов могут быть определены так же, как и для матриц над любым другим кольцом.

Сложение. Сумма двух матриц кватернионов A и B определяется обычным способом как поэлементное сложение:

$(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$

Умножение. Умножение двух кватернионных матриц A и B также следует обычному определению для матричного умножения. Для того чтобы оно было определено число столбцов матрицы A должно равняться числу столбцов матрицы B. Каждый элемент i-й строки и j-го столбца получаемой матрицы равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы:

$(AB{)}_{ij}=\sum _s{A}_{is}{B}_{sj}.$

Например, для матриц

$U=\left(\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ u_{21}& u_{22}\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}{v}_{11}& v_{12}\\ v_{21}& v_{22}\end{array}\right),$

the product is

$UV=\left(\begin{array}{cc}{u}_{11}{v}_{11}+u_{12}{v}_{21}& u_{11}{v}_{12}+u_{12}{v}_{22}\\ u_{21}{v}_{11}+u_{22}{v}_{21}& u_{21}{v}_{12}+u_{22}{v}_{22}\end{array}\right).$

Так как кватернионное умножение не коммутативно, необходимо позаботиться о сохранении порядка сомножителей при вычислении произведения матриц.

Единичным элементом, как и ожидается, будет диагональная матрица I = diag(1, 1, … , 1). Умножение следует обычным законам ассоциативности и дистрибутивности. След матрицы определяется как сумма её диагональных элементов, но в общем случае:

$\mathrm{trace}(AB)\ne \mathrm{trace}(BA).$

Левое скалярное произведение определяется как:

$(cA{)}_{ij}=c{A}_{ij}.$

Снова, так как умножение не коммутативно, то необходимо побеспокоиться о порядке сомножителей.

Детерминанты

Не существует естественного способа определить детерминант для (квадратной) матрицы кватернионов так, чтобы его значения были кватернионами. Тем не менее могут быть определены комплекснозначные детерминанты. Кватернион a + bi + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2×2:

$\left[\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right].$

Так задаётся отображение из Ψ_mn из кватернионных матриц m на n в комплексные матрицы 2m by 2n посредством замены каждого кватерниона на его представление в виде квадратной матрицы 2 на 2. Комплекснозначный детерминант квадратной матрицы кватернионов A тогда можно определить как det(Ψ(A)). Много обычных правил для детерминантов остаётся верными, в частности n на n матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Приложения

Матрицы кватернионов используются в квантовой механике и при рассмотрении задачи многих тел.