Матрица сдвига

Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица) — бинарная матрица с единицами только на главных наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица Шаблон:Math с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица Шаблон:Math называется нижне-сдвиговой матрицей. Компоненты матриц U и L с индексами Шаблон:Math имеют вид

$U_{ij}={\delta }_{i+1,j},L_{ij}={\delta }_{i,j+1},$

где ${\delta }_{ij}$ — дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица

$U_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)L_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$

Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы Шаблон:Math на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы Шаблон:Math вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы Шаблон:Math на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая Шаблон:Math-матрица Шаблон:Math в степени, равной её размерности Шаблон:Math, равна нулевой матрице.

Свойства

Пусть Шаблон:Math и Шаблон:Math — Шаблон:Math-матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math (поэтому приведём их только для Шаблон:Math):

• Определитель Шаблон:Math = 0 (вырожденность);
• След Шаблон:Math = 0;
• Ранг Шаблон:Math
• Характеристический многочлен матрицы Шаблон:Math имеет вид:

$p_U(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n.$

• Шаблон:Math = 0 (нильпотентность). Это свойство следует из предыдущего по теореме Гамильтона — Кэли.

• Перманент Шаблон:Math = 0.

Следующие свойства показывают, как матрицы Шаблон:Math и Шаблон:Math связаны между собой:

• Шаблон:Math; Шаблон:Math.

• Ядра матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math:

$\ker (U)=\mathrm{span}\{(1,0,\dots ,0{)}^T\},$

$\ker (L)=\mathrm{span}\{(0,\dots ,0,1{)}^T\}.$

• Спектр матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю): $\{0\}$. Алгебраическая кратность этого нуля равна Шаблон:Math, а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы Шаблон:Math имеет вид $(1,0,\dots ,0{)}^T,$ а единственный собственный вектор матрицы Шаблон:Math имеет вид $(0,\dots ,0,1{)}^T.$

• Для произведений Шаблон:Math и Шаблон:Math имеем:

$UL=I-\mathrm{diag}(0,\dots ,0,1),$

$LU=I-\mathrm{diag}(1,0,\dots ,0).$

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны и имеют то же ранг, что и Шаблон:Math и Шаблон:Math.

• Шаблон:Math (единичная матрица), для любого целого Шаблон:Math от 0 до Шаблон:Math включительно.

Примеры

$S=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right);A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

Тогда: $SA=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\end{array}\right);AS=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right).$

Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица $S^{T}AS$ соответствует сдвигу матрицы Шаблон:Math вверх и влево вдоль главной диагонали.

$S^{T}AS=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

См. также

• Нильпотентная матрица

Ссылки

Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual