Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем):

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\ a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n=b_n;\end{array}$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

$AX=B$, где $A$ — основная матрица системы, $B$ и $X$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

Умножим это матричное уравнение слева на $A^{-1}$ — матрицу, обратную к матрице $A$: $A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}B$

Так как $A^{-1}A=E$, получаем $X=A^{-1}B$. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$detA\ne 0$.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор $B=0$, действительно обратное правило: система $AX=0$ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если $detA=0$. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ

$\{\begin{array}{c}3x+2y-z=4,\\ 2x-y+5z=23,\\ x+7y-z=5;\end{array}$

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

$\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& -1& 5\\ 1& 7& -1\end{array}\right|=3-14+10-1-105+4=-103;$

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 5\\ 7& -1\end{array}\right|=-34;$

$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& -1\end{array}\right|=7;$

$A_{13}=(-1{)}^{1+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 7\end{array}\right|=15;$

$A_{21}=(-1{)}^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 7& -1\end{array}\right|=-5;$

$A_{22}=(-1{)}^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2;$

$A_{23}=(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 7\end{array}\right|=-19;$

$A_{31}=(-1{)}^{3+1}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 5\end{array}\right|=9;$

$A_{32}=(-1{)}^{3+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right|=-17;$

$A_{33}=(-1{)}^{3+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-7;$

Далее найдём присоединённую матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

$C^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-34& 7& 15\\ -5& -2& -19\\ 9& -17& -7\end{array}\right);$

$(C^{\ast }{)}^T=\left(\begin{array}{ccc}-34& -5& 9\\ 7& -2& -17\\ 15& -19& -7\end{array}\right);$

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot (C^{\ast }{)}^T$

Подставляя переменные в формулу, получаем:

$A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array}{ccc}-34& -5& 9\\ 7& -2& -17\\ 15& -19& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{34}{103}& \frac{5}{103}& -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103}& \frac{2}{103}& \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103}& \frac{19}{103}& \frac{7}{103}\end{array}\right);$

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

$X=A^{-1}\cdot B;$

$X=\left(\begin{array}{ccc}\frac{34}{103}& \frac{5}{103}& -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103}& \frac{2}{103}& \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103}& \frac{19}{103}& \frac{7}{103}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 23\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Итак, x = 2; y = 1; z = 4.