Альтернатива Фредгольма

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряжённое (союзное) уравнение имеет нетривиальное решениеШаблон:Sfn. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствахШаблон:Sfn.

Конечномерное пространство

Шаблон:Рамка Либо уравнение $𝒜z=u$ имеет решение при любой правой части $u\in W$, либо сопряжённое к нему уравнение ${𝒜}^{*}w=0$ имеет нетривиальное решение Шаблон:Конец рамки

Доказательство

Способ 1

Пусть $r=\mathrm{rg}𝒜,m=\dim W$. Возможны два случая: либо $r=m$, либо $r<m$. Условие $r=m$ равносильно условию $\mathrm{im}𝒜=W$, которое означает, что уравнение $𝒜z=u$ имеет решение при любом $u\in W$. При этом так как $\mathrm{rg}𝒜=\mathrm{rg}{𝒜}^{*}$, то $\ker {𝒜}^{*}=0$, и значит, уравнение ${𝒜}^{*}w=0$ не имеет ненулевого решения. Условие $r<m$ равносильно условию $\dim (\ker {𝒜}^{*})>0$, которое означает существование ненулевого вектора $w\in \ker {𝒜}^{*}$, то есть ненулевого решения ${𝒜}^{*}w=0$. При этом $\mathrm{im}𝒜\ne W$ и уравнение $𝒜z=u$ имеет решение не для любого $u\in W$.

Способ 2

1. Пусть система (1), то есть $A\cdot X=B$, имеет решение при любом $B$. В этом случае $\mathrm{rg}A=m$, так как иначе при некотором $B$ $\mathrm{rg}A$ оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как $\mathrm{rg}{A}^T=\mathrm{rg}A$, то в этих условиях $\mathrm{rg}{A}^T=m$, то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
2. Пусть теперь система $A\cdot X=B$ при некотором $B$ несовместна. Следовательно $\mathrm{rg}A<m$ , значит и $\mathrm{rg}{A}^T<m$, то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения: $\mathrm{rg}A$ — ранг матрицы $A$, $\dim W$ — размерность пространства $W$, $\mathrm{im}𝒜$ — образ оператора $𝒜$, $\mathrm{def}𝒜$ — дефект оператора $𝒜$, $\ker 𝒜$ — ядро оператора $𝒜$, $A^T$ — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора $𝒜$, действующего в одном пространстве $V$, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом $u\in V$, либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решениеШаблон:Sfn.

Интегральные уравнения

Формулировки

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

$\phi (x)=\lambda \underset{0}{\overset{a}{\int }}K(x,y)\phi (y)dy+f(x)(1)$

с непрерывным ядром $K(x,y)$ и союзного к нему уравнения

$\psi (x)=\overline{\lambda }\underset{0}{\overset{a}{\int }}{K}^{*}(x,y)\psi (y)dy+g(x),(1^{\prime })$

$K^{*}(x,y)=\overline{K(y,x)}$. Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в $C[0,a]$ при любом свободном члене $f\in C[0,a]$, то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в $C[0,a]$ при любом свободном члене $g\in C[0,a]$, причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене $f$, то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член $f$ был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)Шаблон:Sfn.

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции $f(x)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Идея доказательства

Вырожденное ядро

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

$K(x,y)=\sum _{i=1}^N{f}_i(x)g_i(y)$

можно переписать в виде

$\phi (x)=\lambda \sum _{i=1}^N{c}_i{f}_i(x)+f(x),$

где

$c_i=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\phi (y)g_i(y)dy$

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на $g_k(x)$ и интегрирования по отрезку $[0,a]$ уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных $(c_1,c_2,\dots ,c_N)$:

$c_k=\lambda \sum _{i=1}^N{\alpha }_{ki}{c}_i+a_k,$

где

${\alpha }_{ki}=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{g}_k(x)f_i(x)dx,a_k=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{g}_k(x)f(x)dx.$.

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случаяШаблон:Sfn.

Произвольное непрерывное ядро

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

$K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),$

где $P(x,y)$ — вырожденное ядро (многочлен) и $Q(x,y)$ — малое непрерывное ядро, $|Q(x,y)|<\epsilon ,0\le x\le a$. Тогда уравнение (1) принимает вид

$\phi =\lambda P\phi +\lambda Q\phi +f,$

где $P$ и $Q$ — интегральные операторы с ядрами $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ соответственно.

Введем неизвестную функцию $\mathrm{\Phi }(x)$ по формуле

$\mathrm{\Phi }=\phi -\lambda Q\phi$.

При $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ функция $\phi$ однозначно выражается через $\mathrm{\Phi }$ по формуле

$\phi =(I-\lambda Q{)}^{-1}\mathrm{\Phi }=(I+\lambda R)\mathrm{\Phi },$

где $I$ — единичный оператор, $R$ — интегральный оператор с ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентой ядра $Q(x,y)$. Тогда исходное уравнение принимает вид

$\mathrm{\Phi }=\lambda T\mathrm{\Phi }+f,$

где

$T=P+\lambda PR$

— интегральный оператор с вырожденным ядром

$T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \underset{0}{\overset{a}{\int }}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,$

аналитическим по $\lambda$ в круге $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$. Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

$\psi =\overline{\lambda }{T}^{*}\psi +g_1.$

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случаяШаблон:Sfn.

Следствия

• Множество характеристических чисел непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, значит, не более чем счётно. Действительно, в каждом круге $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ характеристические числа ядра $K(x,y)$ совпадают с характеристическими числами вырожденного ядра, которые являются нулями аналитической функции.
• Каждое характеристическое число имеет конечную кратность (число линейно независимых собственных функций). Следует из второй теоремы Фредгольма. Характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

$|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|\le \dots ,$

повторяя в этой последовательности ${\lambda }_k$ столько раз, какова его кратность.

• Если ${\lambda }_0$ — характеристическое число ядра $K(x,y)$, то ${\overline{\lambda }}_0$ — характеристическое число ядра $K^{*}(x,y)$, причем они имеют одинаковую кратность.
• Собственные функции ${\phi }_k$ и ${\psi }_i$ ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$, отвечающие характеристическим числам ${\lambda }_k$ и ${\overline{\lambda }}_i$ соответственно, причем ${\lambda }_k\ne {\lambda }_i$, ортогональны: $({\phi }_k,{\psi }_i)=0$.

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

• Если $\lambda \ne {\lambda }_k,k=1,2,\dots$, то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
• Если $\lambda ={\lambda }_k$, то однородные уравнения

$\phi ={\lambda }_{k}K\phi ,\psi ={\overline{\lambda }}_k{K}^{*}\psi ,$

имеют одинаковое (конечное) число $r_k\ge 1$ линейно независимых решений — собственных функций ${\phi }_k,{\phi }_{k+1},\dots ,{\phi }_{k+r_k-1}$ ядра $K(x,y)$ и собственных функций ${\psi }_k,{\psi }_{k+1},\dots ,{\psi }_{r_k-1}$ ядра $K^{*}(x,y)$.

• Если $\lambda ={\lambda }_k$, то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

$(f,{\psi }_{k+i})=0,i=0,1,r_k-1.$Шаблон:Sfn

Банахово пространство

Даны уравнения

$Ax-x=y,(2)$

$A^{*}f-f=g,(2^{\prime })$

где $A$ — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве $E$, а $A^{*}$ — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве $E^{*}$. Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

$Ax-x=0$

$A^{*}f-f=0$

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

$x_1,x_2,\dots ,x_n;f_1,f_2,\dots ,f_n;$

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

$f_i(y)=0,i=1,2,\dots ,n$

(соответственно $g(x_i)=0,i=1,2,\dots ,n$)Шаблон:Sfn.

Применение к решению краевых задач для эллиптических уравнений

Метод Неймана решения задачи Дирихле

$\mathrm{\Delta }u(x)=0,x\in G,u(s)=g(s),s\in C$

состоит в том, что решение $u$ ищется в виде

$u(x)=\underset{C}{\int }\mu (t)\frac{\partial }{\partial n_t}\log \frac{1}{r_{xt}}dt,$

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь $G$ — плоская область, $C$ — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной, $r_{xt}$ — расстояние от точки $x$ до точки $t$ на контуре $S$, $n_t$ — внутренняя нормаль к $C$ в точке $t$. Функция $\mu$ должна удовлетворять интегральному уравнению

$\frac{1}{\pi }g(s)=\mu (s)+\underset{C}{\int }K(s,t)\mu (t)dt$

с непрерывным ядром

$K(s,t)=\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial n_t}\log \frac{1}{r_{xt}}dt.$

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение $\mu (s)$ при любом выборе непрерывной функции $g(s)$, либо однородное уравнение

$\nu (s)+\underset{C}{\int }K(s,t)\mu (t)dt=0$

допускает ненулевое решение $\nu (s)$. Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях $g(s)$. Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи НейманаШаблон:Sfn.

См. также

• Интегральное уравнение
• Теория Фредгольма
• Компактный оператор
• Ядро интегрального уравнения

Литература

Конечномерное пространство

• Шаблон:Книга

Интегральные уравнения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Банахово пространство

• Шаблон:Книга