Характеристическое число (интегральные уравнения)

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение $\lambda$, при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

$\phi (x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)\phi (y)dy$

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение $\phi (x)$, называемое собственной функцией. Здесь $G$ — область в ${ℝ}^n$, $K(x,y)$ — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром $K(x,y)$Шаблон:Sfn. Значения $\lambda$, не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если $\lambda$ — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

$\phi (x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)\phi (y)dy+f(x)$

имеет единственное решение при любом свободном члене $f(x)$; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена $f(x)$Шаблон:Sfn.

Свойства

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

• Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
• Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
• Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

$|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|\le \dots ,$

повторяя при этом число ${\lambda }_k$ столько раз, какова его кратность.

• ${\overline{\lambda }}_1,{\overline{\lambda }}_2,\dots$ — все характеристические числа союзного ядра $K^{*}(x,y)=\overline{K(y,x)}$.
• Если ${\lambda }_k\ne {\lambda }_i$ и ${\phi }_k={\lambda }_{k}K{\phi }_k$, ${\psi }_i={\overline{\lambda }}_i{K}^{*}{\psi }_i$, то есть ${\phi }_k$ и ${\psi }_i$ — собственные функции ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$ соответственно, то $({\phi }_k,{\psi }_i)=0$ — собственные функции ортогональны в пространстве $L_2(G)$.
• Повторное ядро $K_p(x,y)$ имеет характеристические числа ${\lambda }_k^p$ и те же собственные функции ${\phi }_k$, что и ядро $K(x,y)$.
• Обратно, если $\mu$ и $\phi$ — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра $K_p(x,y)$, то по крайней мере один из корней ${\lambda }_j,j=1,2,\dots ,p,$ уравнения ${\lambda }^p=\mu$ является характеристическим числом ядра $K(x,y)$Шаблон:Sfn.
• Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированнойШаблон:Sfn.
• Характеристические числа совпадают с полюсами резольвентыШаблон:Sfn.
• Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чиселШаблон:Sfn.
• Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чиселШаблон:Sfn.

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральный оператор Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Резольвента интегрального уравнения
• Альтернатива Фредгольма
• Собственный вектор

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга