Интегральный оператор Фредгольма

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

$(Af)(x)=\underset{G}{\int }K(x,t)f(t)dt,$

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь $G$ — область в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$, $K(x,t)$ — функция, заданная на декартовом квадрате $G\times G$, называемая ядром интегрального оператораШаблон:Sfn. Для вполне непрерывности оператора $A$ на ядро $K(x,y)$ накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядраШаблон:Sfn, $L_2$-ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также полярные ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$.

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на $\overline{G}\times \overline{G}$ ядром $K(x,y)$, переводит $L_2(G)$ в $C(\overline{G})$ (и, следовательно, $C(\overline{G})$ в $C(\overline{G})$ и $L_2(G)$ в $L_2(G)$) и ограничен (непрерывен), причём

$\Vert Af{\Vert }_C\le M\sqrt{V}\Vert f{\Vert }_{L_2},f\in L_2(G),$

$\Vert Af{\Vert }_C\le MV\Vert f{\Vert }_C,f\in C(\overline{G}),$

$\Vert Af{\Vert }_{L_2}\le MV\Vert f{\Vert }_{L_2},f\in L_2(G),$

где

$M=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in \overline{G},y\in \overline{G}}|K(x,y)|,V=\underset{G}{\int }dy.$Шаблон:Sfn.

Интегральный оператор с $L_2$-ядром:

$\underset{G}{\int }\underset{G}{\int }|K(x,y){|}^{2}dxdy\le N^2<\mathrm{\infty }$

переводит $L_2(G)$ в $L_2(G)$, непрерывен и удовлетворяет оценке:

$\Vert Af{\Vert }_{L_2}\le N\Vert f{\Vert }_{L_2}.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из $L_p$ в $L_q$.Шаблон:Sfn

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром $K(x,y)$ является вполне непрерывным из $L_2(G)$ в $C(\overline{G})$, то есть переводит любое множество, ограниченное в $L_2(G)$, в множество, предкомпактное в $C(\overline{G})$Шаблон:Sfn. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с $L_2$-ядром.Шаблон:Sfn

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из $L_p$ в $L_q$.Шаблон:Sfn

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору $A$ с $L_2$-ядром в гильбертовом пространстве $L_2(G)$ имеет вид

$(A^{*}f)(x)=\underset{G}{\int }\overline{K(y,x)}f(y)dy.$

Если $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$, то интегральный оператор Фредгольма $A$ является самосопряжённымШаблон:SfnШаблон:Sfn

Обратный оператор

При достаточно малых значениях $|\lambda |$ оператор $I-\lambda A$ (где $I$ — единичный оператор) имеет обратный вида $I+\lambda R$, где $R$ — интегральный оператор Фредгольма с ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентой ядра $K(x,y)$Шаблон:Sfn.

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Теория Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Компактный оператор

Литература

• Шаблон:H Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга