Логарифмический потенциал

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ² как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

$V=-\rho \ln |z|.$

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

Потенциал площади

$V(z)=\underset{G}{\iint }\rho (\zeta )\ln \frac{1}{|z-\zeta |}d\xi d\eta ,\zeta =\xi +i\eta .$

Если $\rho (z)\in C(\bar{G})$, то сам потенциал $V(z)\in C^1({ℝ}^2)$ гармоничен в ${ℝ}^2\setminus G$ и

$V(z)=\ln \frac{1}{|z|}\underset{G}{\iint }\rho (\zeta )d\xi d\eta +O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

• Здесь, как это часто делается, подразумевается представление ${ℝ}^2$ как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные $\zeta ,z$ просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в ${ℝ}^2$, а если $\rho$ также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя

$V^{(0)}(z)=\mu {\delta }_S\ln \frac{1}{|z|}=\underset{S}{\int }\mu (\zeta )\ln \frac{1}{|z-\zeta |}d{S}_{\zeta }.$

Если $\mu (z)\in C(S)$, то сам потенциал $V^{(0)}(z)\in C({ℝ}^2)$ гармоничен в ${ℝ}^2\setminus S$ и

$V^{(0)}(z)=\ln \frac{1}{|z|}\underset{S}{\int }\mu (\zeta )d{S}_{\zeta }+O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

$\left(\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}\right){|}_{+}=-\pi \mu (z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial 𝐧},$

$\left(\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}\right){|}_{-}=\pi \mu (z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial 𝐧}.$

Логарифмический потенциал двойного слоя

$V^{(1)}(z)=-\ln \frac{1}{|z|}\ast \frac{\partial }{\partial 𝐧}(\nu {\delta }_S)=\underset{S}{\int }\nu (\zeta )\frac{\partial }{\partial 𝐧}(\ln \frac{1}{|z-\zeta |})d{S}_{\zeta }=\underset{S}{\int }\nu (\zeta )\frac{\cos \phi }{|z-\zeta |}d{S}_{\zeta },$

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если $\nu (z)\in C(S)$, то сам потенциал $V^{(1)}(z)$ гармоничен в ${ℝ}^2\setminus G$ и

$V^{(1)}(z)=O\left(\frac{1}{|z|}\right),|z|\to \mathrm{\infty }.$

Если S — кривая Ляпунова, то:

$V^{(1)}\in C(\bar{G})\cap C(S)\cap C({ℝ}^2\setminus G)$

и

$V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),$

$V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).$

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

$V^{(1)}=\{\begin{array}{c}-2\pi \nu ,z\in G,\\ -\pi \nu ,z\in S,\\ 0,z\in {ℝ}^2\setminus \bar{G}.\end{array}$

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана
• Краевая задача
• Ньютонов потенциал
• Теория потенциала

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]