Метод Гамильтона — Якоби решения вариационных задач

Метод Гамильтона — Якоби сводит задачу нахождения экстремалей (или задачу интегрирования гамильтоновой системы уравнений) к интегрированию уравнения в частных производных первого порядка — так называемого уравнения Гамильтона — Якоби. Основы теории Гамильтона-Якоби были разработаны Гамильтоном в 1820-х годах для задач волновой оптики и геометрической оптики. В 1834 году Гамильтон распространил свои идеи на проблемы динамики, и Якоби (1837) применил метод к общим задачам классического вариационного исчисления.

Начальные точки теории Гамильтона-Якоби были установлены в 17 веке Ферма и Гюйгенсом, которые использовали для этой цели предмет геометрической оптики (см. Принцип Ферма; принцип Гюйгенса).

Алгоритм

Рассмотрим шаги Гамильтона и проблему распространения света в неоднородной (но для простоты, изотропной) среде, где $v(x)$ — локальная скорость света в точке $x$.

Согласно принципу Ферма, свет распространяется от точки к точке в неоднородной среде в кратчайшие сроки. Пусть $x_0\in E$будет начальной точкой, и пусть $W(x)$ будет кратчайшим возможным временем, когда свет пройдет расстояние от $x_0$> до $x$ Функция $W(x)$ известна как эйконал или оптическая длина пути. Предполагается, что за короткое время $dt$ свет проходит от точки $x$ до точки $x+dx$. Согласно принципу Гюйгенса, свет будет распространяться, кроме малых величин более высокого порядка, по нормали к поверхности уровня функции $W(x)$. Таким образом, выполняется уравнение:

$W(x+\frac{W^{\prime }(x)}{|W^{\prime }(x)|}v(x)dt)=W(x)+dt+o(dt)$.

И уравнение Гамильтона-Якоби для задач геометрической оптики имеет вид:

$|W^{\prime }(x){|}^2=\frac{1}{v^2(x)}\iff \sum _{i=1}^3{\left(\frac{\partial W(x)}{\partial x_i)}\right)}^2=\frac{1}{v^2(x)}$.

В аналитической механике роль принципа Ферма играет вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, а роль эйконала играет функционал действия, то есть интеграл:

$S(t,x)=\underset{\gamma }{\int }Ldt$, (1)

вдоль траектории γ, соединяющей данную точку $(t_0,x_0)$ с точкой $(t,x)$, где находится функция Лагранжа механической системы, $x=(x_1,...,x_n)$.

Якоби предложил использовать функцию, напоминающую функционал действия (1), при решении всех задач классического вариационного исчисления. Экстремалы задачи $\int Ldt\to inf$, выходящей из точки $(t_0,x_0)$, пересекают поверхность уровня основной функции трансверсально (см. условие трансверсальности). Форма дифференциала функционала действия:

$dS=(p|dx)-Hdt$

выводится из этого условия. Здесь $p=L_x$ и $H=px-L$ — функции Гамильтона (см. также преобразование Лежандра).

Последнее упомянутое соотношение дает следующее уравнение для функции S:

$\frac{\partial S}{\partial t}+H(t,x,\frac{\partial S}{\partial x})=0$. (2)

Это уравнение Гамильтона — Якоби.

Наиболее важным результатом теории Гамильтона — Якоби является теорема Якоби, которая утверждает, что полный интеграл уравнения (2), то есть решение $S(t,x,\alpha )$ этого уравнения, которое будет зависеть от параметров $\alpha =(\alpha ,...,\alpha )$ (при условии, что $det\left|\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial \alpha }\right|\ne 0)$, позволяет получить полный интеграл уравнения для функционала Эйлера (1) или, что то же самое, гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом формулами $\frac{\partial S}{\partial x}=p$, $\frac{\partial S}{\partial \alpha }=\beta$. Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем обычно основано на методе разделения переменных в специальных координатах.

Применение

Несмотря на то, что интегрирование уравнений в частных производных обычно сложнее, чем решение обыкновенных уравнений, теория Гамильтона-Якоби оказалась мощным инструментом в изучении проблем оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была использована Беллманом при решении задач оптимального управления. См. также инвариантный интеграл Гильберта.

Комментарии

В оптимальном управлении уравнение Гамильтона-Якоби имеет, например, форму:

$\frac{\partial V}{\partial t}+H(t,x,\frac{\partial V}{\partial x})=0,V(t,x)=\varphi (t_1,x),t_0⩽t⩽t_1$,

где

$H(t,x,\frac{\partial V}{\partial x})=min\{(\frac{\partial V}{\partial x},f(t,x,u))+f^0(t,x,u):u\in U\}$.

См., например, оптимальное управление синтезом. В этом случае его часто называют уравнением Беллмана (особенно в технической литературе) или уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана. Существует также версия для оптимального стохастического управления, см. [slovar.wikireading.ru/2700830 управляемый случайный процесс]. Поскольку классические решения уравнения Гамильтона-Якоби часто не существуют, возникает необходимость рассмотреть различные виды обобщённых решений, таких как решения с вязкостью.

Примечания

Шаблон:Изолированная статья