Многомерное время в физике

Свойства S+T-мерного пространства-времени по Максу Тегмарку

Специальная теория относительности (СТО) описывает пространство-время в виде псевдориманова многообразия с одним отрицательным собственным значением метрического тензора, которое соответствует «временноподобному» направлению. Метрика с несколькими отрицательными собственными значениями будет соответственно подразумевать наличие нескольких временных направлений, то есть время будет многомерным, но в настоящее время нет консенсуса насчёт связи этих дополнительных «времён» с временем в обычном понимании.

Гипотезы многомерного времени выдвигались в физике двояко: как возможное теоретическое описание реальности или как любопытная возможность, вероятно, не имеющая отношения к известной природе. Например, Ицхак Барс опубликовал работу «Физика двухмерного времени», основанную на симметрии SO (10, 2) расширенной структуры суперсимметрии М-теории, являющийся самой современной и систематизированной разновидностью данной теории (см. также Шаблон:Не переведено 3).

Если специальная теория относительности может быть обобщена на случай k-мерного времени $(t_1,t_2,...,t_k)$ и n-мерного пространства $(x_{k+1},x_{k+2},...,x_{k+n})$, тогда (k + n)-размерный интервал, будучи инвариантным, даёт выражение $(d{s}_{k,n}{)}^2=(cd{t}_1{)}^2+\dots +(cd{t}_k{)}^2-(d{x}_{k+1}{)}^2-\dots -(d{x}_{k+n}{)}^2$. Сигнатура метрики тогда будет выглядеть следующим образом:

$(\underset{k}{\underbrace{+,\cdots ,+}},\underset{n}{\underbrace{-,\cdots ,-}})$ — временно-подобное Шаблон:Не переведено 3,

или

$(\underset{k}{\underbrace{-,\cdots ,-}},\underset{n}{\underbrace{+,\cdots ,+}})$ — пространственно-подобное Шаблон:Не переведено 3.

Преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта K и K′, которые находятся в стандартной конфигурации (например, преобразование без перевода и/или вращения оси пространства в гиперплоскости пространства и/или поворотов оси времени в гиперплоскости времени) выглядят следующим образом:

$t{\text{'}}_{\sigma }=\sum _{\theta =1}^k({\delta }_{\sigma \theta }{t}_{\theta }+\frac{c^2}{v_{\sigma }{v}_{\theta }}{\beta }^2(\zeta -1)t_{\theta })-\frac{1}{v_{\sigma }}{\beta }^2\zeta x_{k+1},$

$x{\text{'}}_{k+1}=-c^2{\beta }^2\zeta \sum _{\theta =1}^k\frac{t_{\theta }}{v_{\theta }}+\zeta x_{k+1},$

$x{\text{'}}_{\lambda }=x_{\lambda },$

где ${𝐯}_1=(v_1,\underset{n-1}{\underbrace{0,\cdots ,0}}),$ ${𝐯}_2=(v_2,\underset{n-1}{\underbrace{0,\cdots ,0}}),$ ${𝐯}_k=(v_k,\underset{n-1}{\underbrace{0,\cdots ,0}})$ являются векторами скоростей K′ против K, определяют соответственно в зависимости от размеров времени t₁, t₂, …, t_k; $\beta =\frac{1}{\sqrt{\sum _{\mu =1}^k\frac{c^2}{v_{\mu }^2}}};$ $\zeta =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}};$ σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n. Здесь ${\delta }_{\sigma \theta }$ является символом Кронекера. Эти преобразования являются обобщением преобразования Лоренца в фиксированном пространственном направлении (x_k+1) в области многомерного времени и многомерного пространства.

Причинно-следственная структура пространства-времени с двумя временными измерениями и пространством одной размерности

Обозначим: $\frac{d{x}_{\eta }}{d{t}_{\sigma }}=V_{\sigma \eta }$, и $\frac{dx{\text{'}}_{\eta }}{dt{\text{'}}_{\sigma }}=V{\text{'}}_{\sigma \eta },$ где σ = 1, 2, …, k; η = k + 1, k + 2, …, k + n. Сложение скоростей затем даст

$V{\text{'}}_{\sigma (k+1)}=\frac{V_{\sigma (k+1)}\zeta (1-{\beta }^2\sum _{\theta =1}^k\frac{c^2}{v_{\theta }{V}_{\theta (k+1)}})}{1+\frac{V_{\sigma (k+1)}}{v_{\sigma }}{\beta }^2((\zeta -1)\sum _{\theta =1}^k\frac{c^2}{v_{\theta }{V}_{\theta (k+1)}}-\zeta )},$

$V{\text{'}}_{\sigma \lambda }=\frac{V_{\sigma \lambda }}{1+\frac{V_{\sigma (k+1)}}{v_{\sigma }}{\beta }^2((\zeta -1)\sum _{\theta =1}^k\frac{c^2}{v_{\theta }{V}_{\theta (k+1)}}-\zeta )},$

где σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n.

Для простоты рассмотрим только одну пространственную размерность x₃ и две временные размерности x₁ и x₂ (то есть, x₁ = ct₁, x₂ = ct₂, x₃ = x). Предположим, что в точке O, имеющей координаты x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, имело место событие E. Предположим далее, что с момента события E прошёл интервал времени $\mathrm{\Delta }T=\sqrt{(\mathrm{\Delta }{t}_1{)}^2+(\mathrm{\Delta }{t}_2{)}^2}⩾0$. Причинно-следственная область, связанная с событием E, включает в себя боковую поверхность прямого кругового конуса {(x₁)² + (x₂)² − (x₃)² = 0}, боковую поверхность прямого кругового цилиндра {(x₁)² + (x₂)² = c²ΔT²} и внутреннюю область, ограниченную этими поверхностями, то есть причинно-следственная область включает в себя все точки (x₁, x₂, x₃), для которых условия

$(x_1{)}^2+(x_2{)}^2-(x_3{)}^2=0\text{ и }|x_3|⩽c\mathrm{\Delta }T$ или

$(x_1{)}^2+(x_2{)}^2=c^2{\mathrm{\Delta }T}^2\text{ и }|x_3|⩽c\mathrm{\Delta }T$ или

$(x_1{)}^2+(x_2{)}^2-(x_3{)}^2>0\text{ и }(x_1{)}^2+(x_2{)}^2<c^2{\mathrm{\Delta }T}^2$

являются выполненными.

Тем не менее, сигнатуры (1, 3) и (3, 1) физически эквивалентны, так как положительная длина вектора в пространстве Минковского для временноподобных интервалов — это условность, зависящая от договорённости о знаке метрического тензора. Так, некоторые физики как правило используют метрику с сигнатурой (+−−−), что приводит к положительной «длине» Минковского для времениподобных интервалов и энергии, в то время как пространственное расстояние будет иметь отрицательную «длину» Минковского. Релятивисты, однако, как правило придерживаются противоположной конвенции (−+++), что даёт для пространственного расстояния положительную «длину» МинковскогоШаблон:Нет АИ.

Все вселенные многомерного времени можно рассматривать в качестве фридмонов.

Связь с антропным принципом

В качестве доказательства трёхмерности пространства (если не считать возможные измерения неподтвержденной теории струн) могут приводиться физические последствия предположения о том, что количество измерений отличается от трёх пространственных плюс одного временного. Этот аргумент выполнен в духе антропного принципа, и возможно, это первый случай его использования, пусть и до того, как концепция данного принципа была полностью сформулирована.

Неявное представление о том, что размерность существующей Вселенной является особенной, впервые высказал Лейбниц, который в «Рассуждении о метафизике» предположил, что «мир соответствует такой модели, которая является самой простой в гипотезе и самой богатой в явлениях».

Макс Тегмарк рассматривает гипотезы миров с размерностью времени T > 1 с точки зрения антропного принципа и приходит к выводу о невозможности существования разумной жизни в такой модели мира. В общем случае неизвестно функционирование физических законов в мире с многомерным временем. Если Т отлично от 1, поведение физических систем не может быть выведено из знания соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных — задача Коши для волнового уравнения становится плохо определённой. Иными словами, в мире с многомерным временем невозможно точно рассчитать поведение физических систем в будущем, а любой расчёт физических законов будет иметь несколько решений — будущее такой вселенной невозможно спрогнозировать. Разумная жизнь, способная использовать технологии, в подобной вселенной не могла бы возникнуть. Единственный вариант однозначного решения для физических уравнений в мире с многомерным временем — это движение наблюдателя со скоростью света, когда время для него вообще не существует.

Более того, Тегмарк утверждает, что если T > 1, протоны и электроны были бы неустойчивы и могли бы распадаться на более массивные частицы. (Это не проблема, если частицы имеют достаточно низкую температуру.) При T > 1 субатомные частицы, распадающиеся в течение определённого периода, вели бы себя непредсказуемо, геодезическая линия не обязательно была бы максимальной для времени. Случай мира с размерностью пространства N = 1 и времени T = 3 обладает интересным свойством: скорость света является нижней границей скорости материальных тел, а вся материя состоит из тахионов.

Только мир с трёхмерным пространством даёт достаточную стабильность и сложность, так как в мире с числом измерений пространства меньше 3 маловероятна гравитация и возникают топологические проблемы, а в мире с числом измерений пространства больше 3 невозможно существование стабильных орбит (для гравитационного и электромагнитного полей либо иных дальнодействующих взаимодействий). Поэтому миры с мерностью времени отличной от 1 имеют недостаток прогнозируемости, а миры с развёрнутой мерностью пространства больше 3 — недостаток стабильности. Таким образом, соблюдение антропного принципа исключает любые варианты мира помимо N = 3 и Т = 1 (или N = 1 и Т = 3 в других концепциях).

Связь с длиной Планка и скоростью света

Движение пробной частицы может быть описано координатой:

$x^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ct\\ r\cdot f\left(\frac{\gamma \tau }{\mathrm{\Lambda }}\right)\\ 𝐱\end{array}\right)$

которая является каноническим (1,3) вектором пространства-времени $(ct,𝐱{)}^T$ с $x\in {ℝ}^3$ расширенную на дополнительную временноподобную координату $r\cdot f(\gamma \tau /\mathrm{\Lambda })$. $\tau$ тогда второй параметр времени, $r\in ℝ$ описывает размер второго временного измерения и $\gamma$ является характеристической скоростью, таким образом, эквивалент $c$. $f$ описывает форму второго временного измерения и $\mathrm{\Lambda }\in ℝ$ параметр нормализации такой, что $\gamma \tau /\mathrm{\Lambda }$ безразмерно. Разбивая $x^{\mu }=x_t^{\mu }+x_{\tau }^{\mu }$ с

$x_t^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ct\\ 0\\ \eta 𝐱\end{array}\right);x_{\tau }^{\mu }=\left(\begin{array}{c}0\\ r\cdot f\left(\frac{\gamma \tau }{\mathrm{\Lambda }}\right)\\ (1-\eta )𝐱\end{array}\right),\eta \in (0,1)$

и, используя метрику $(+,+,-,-,-)$, тогда Лагранжева механика становится:

$L(x,\dot{x},x^{\prime },t,\tau )=\frac{r}{\mathrm{\Lambda }}\sqrt{{\dot{c}}^2{t}^2+c^2-{\eta }^2{\dot{𝐱}}^2+2\dot{c}ct}\sqrt{({\gamma }^{\prime 2}{\tau }^2+{\gamma }^2+2\gamma {\gamma }^{\prime }\tau ){\left({\frac{df}{dz}|}_{z=\frac{\gamma \tau }{\mathrm{\Lambda }}}\right)}^2-(1-\eta {)}^2{𝐱}^{\prime 2}}.$

Применение уравнения Эйлера — Лагранжа дает:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}+\frac{d}{d\tau }\frac{\partial L}{\partial x_i^{\prime }}-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0.$

Как следствие этой модели было высказано предположение, что скорость света не была постоянной в ранней Вселенной.