Многочлены Фабера

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва.

Определение

Пусть $K$ — ограниченный континуум — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И $g_{\mathrm{\infty }}$ — это та из смежных с $K$ областей, к которой принадлежит $z=\mathrm{\infty }$. $g_{\mathrm{\infty }}\equiv D$ — односвязная область расширенной плоскости, граница которой ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }}$ является частью континуума $K$.

Область $g_{\mathrm{\infty }}$ конформно отображается на внешность круга с центром в точке $w=0$ посредством функции $w=\mathrm{\Phi }(z)$ так, что выполняются два условия:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Phi }(z)/z=\gamma >0$

которыми функция $\mathrm{\Phi }(z)$ определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция $w=\mathrm{\Phi }(z)$, являясь аналитической в области $D$, кроме точки $z=\mathrm{\infty }$, имеет в точке $z=\mathrm{\infty }$ простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки $z=\mathrm{\infty }$ имеет вид

$\mathrm{\Phi }(z)=\gamma z+{\gamma }_0+{\gamma }_1/z+{\gamma }_2/z^2+\dots .$

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом $K$, называется многочлен

${\mathrm{\Phi }}_n(z)={\gamma }^n{z}^n+a_{n-1}^{(n)}{z}^{n-1}+a_{n-2}^{(n)}{z}^{n-2}+\dots +a_1^{(n)}z+a_0^{(n)}$

представляющий собой члены с неотрицательными степенями $z$ в лорановском разложении функции $\mathrm{\Phi }(z{)}^n$ в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при $K=[-1;1]$.

Ссылки

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Шаблон:MathWorld