Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции - Характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ₁,ξ₂,...,ξ_k) - случайный вектор из R^k, тогда коэффициент множественной корреляции ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}$ между ξ₁ и ξ₂,...,ξ_k численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ₁ и её наилучшей линейной аппроксимацией $M({\xi }_1|{\xi }_2,\dots ,{\xi }_k)$ по переменным ξ₂...,ξ_k, которая представляет собой линейную регрессию ξ₁ на ξ₂,...,ξ_k.

Свойства

Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии

$M{\xi }_1=M{\xi }_2=\dots =M{\xi }_k=0$ когда ${\xi }_1^{*}={\beta }_2{\xi }_2+{\beta }_3{\xi }_3+\cdots +{\beta }_k{\xi }_k$ - это регрессия ξ₁ на ξ₂,...,ξ_k,

среди всех линейных комбинаций переменных ξ₂,...,ξ_k переменная ξ₁ будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ₁^*, совпадающий с ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}$. В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем канонического коэффициента корреляции. При Шаблон:Math множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции Шаблон:Math между ξ₁ и ξ₂.

Вычисление

Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы $𝐑=\left\{{\rho }_{i,j}\right\},i,j=1,\dots ,k$ по формуле

${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}^2=1-\frac{\left|R\right|}{R_{11}}$,

где $\left|R\right|$ - это определитель корреляционной матрицы, а $R_{11}$ - это алгебраическое дополнение элемента Шаблон:Math; здесь $0⩽{\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}⩽1$. Если ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}=1$, тогда с вероятностью 1 значения ξ₁ совпадают с линейной комбинацией ξ₂,...,ξ_k, следовательно, совместное распределение ξ₁,ξ₂,...,ξ_k лежит на гиперплоскости в пространстве R^k. С другой стороны, при ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}=0$ все парные коэффициенты корреляции Шаблон:Math равны нулю, следовательно, значения ξ₁ не коррелируют с величинами ξ₂,...,ξ_k. Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле

${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}^2=1-\frac{{\sigma }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}^2}{{\sigma }_1^2}$,

где ${\sigma }_1^2$ - это дисперсия ξ₁, а ${\sigma }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}^2=M({\xi }_1-({\beta }_2{\xi }_2+{\beta }_3{\xi }_3+\cdots +{\beta }_k{\xi }_k){)}^2$ - дисперсия ξ₁ относительно регрессии.

Выборочный множественный коэффициент корреляции

Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина $r_{1\bullet 2,\dots ,k}=\sqrt{1-\frac{s_{1\bullet 2,\dots ,k}^2}{s_1^2}}$, где $s_{1\bullet 2,\dots ,k}^2$ и $s_1^2$ - это оценки для ${\sigma }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}^2$ и ${\sigma }_1^2$, полученные по выборке объема Шаблон:Math. Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики $r_{1\bullet 2,\dots ,k}$. При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения, величина $r_{1\bullet 2,\dots ,k}^2$ будет обладать бета-распределением с параметрами $\frac{k-1}{2},\frac{n-k}{2}$, если ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}=0$. Для случая ${\rho }_{{\xi }_1\bullet {\xi }_2,\dots ,{\xi }_k}\ne 0$ тип распределения $r_{1\bullet 2,\dots ,k}^2$ известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.

См. также

• Коэффициент детерминации

Литература

• Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
• Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.