Модель Крамера — Лундберга

Шаблон:Проверить факты Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в которой процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью $a$ условных денежных единиц за единицу времени, то есть $a>0$ — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.

Обозначения

Модель страхования заключается в описании случайного процесса $Y_t$, характеризующего капитал компании в момент времени $t$.

Модель выглядит так:

$Y_t=y_0+at-\sum _{k=1}^{N_t}{\eta }_k,$ где

$Y_t$ — капитал компании в момент времени $t$,

$y_0$ — стартовый капитал, $y_0>0$,

$a$ – скорость поступления страховых взносов,

$N_t$ — количество страховых исков от начала до момента времени $t$,

${\eta }_k$— сумма выплат по $k$-му страховому случаю, выплата происходит в момент времени $T_k$.

Cлучайный процесс $N_t$ разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности $\lambda >0$. В таком случае модель называется моделью Крамера — ЛундбергаШаблон:Sfn. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени $t$, будем рассматривать процесс восстановления:

$\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\}$ – независимые случайные величины, имеющие распределение $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$ (промежутки времени между страховыми случаями),

$S_0=0,S_n={\xi }_1+\dots +{\xi }_n$,

$N_t=\sup \{n:S_n⩽t\},t⩾0$.

Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание $N_t$ обосновано.

Компания считается разорившейся, если $Y_t⩽0$. Пусть $\mathrm{T}=\inf \{t⩾0:Y_t⩽0\}$ — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: $\mathrm{P}(T<\mathrm{\infty })$.

Математические выкладки

1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени $t$:

$\mathrm{P}(N_t=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}$.

2. Предположим что размер выплат ${\eta }_k$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с $\mathrm{E}{\eta }_1=\mu$Шаблон:Sfn.

$\mathrm{E}(X_t-X_0)=\mathrm{E}{X}_t-\mathrm{E}{X}_0=(y_0+at-\mathrm{E}\sum _k{\eta }_k𝐈(T_k⩽t))-(y_0+0-0)=$

$=at-\sum _k\mathrm{E}{\eta }_k𝐈(T_k⩽t)=$

$=at-\sum _k\mathrm{E}{\eta }_k\mathrm{E}𝐈(T_k⩽t)=$

$=at-\mathrm{E}{\eta }_k\sum _k\mathrm{E}𝐈(T_k⩽t)=$

$=at-\mu \sum _k\mathrm{P}(T_k⩽t)=$

$=at-\mu \sum _k\mathrm{P}(N_t⩾k)=$

$=at-\mu \mathrm{E}{N}_t=t(a-\mu \lambda ).$

Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания (в среднем) работает с положительной прибылью (то есть $\mathrm{E}(X_t-X_0)>0$), когда

$a>\mu \lambda$.

Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли (в среднем) страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение $\lambda$ (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска $\mu$. В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга