Процесс Пуассона

Шаблон:Seealso Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью. Шаблон:TOC-left Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

$\mathrm{\Lambda }(A)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\lambda (t)dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть $\lambda >0$. Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\ge 0}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, если

1. $X_0=0$ почти достоверное.
2. $\{X_t\}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $X_t-X_s\sim \mathrm{P}(\lambda (t-s))$ для любых $0\le s<t<\mathrm{\infty }$, где $\mathrm{P}(\lambda (t-s))$ обозначает распределение Пуассона с параметром $\lambda (t-s)$.

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

• Пусть ${\xi }_1,\mathrm{...},{\xi }_n$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть $N(t)$ — простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, не зависящий от последовательности ${\xi }_1,\mathrm{...},{\xi }_n$.

Обозначим через $S_k$ сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\{Y_t\}$ как $S_{N(t)}$ .

Свойства

• Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение $\text{Exp}(\lambda )$.
• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

$\mathbb{P}(X_t=k)=\frac{{\lambda }^k{t}^k}{k!}{e}^{-\lambda t},k=0,1,2,\dots$,

то есть момент $k$-го скачка имеет гамма-распределение $\text{Γ}(\lambda ,k)$.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

$\mathbb{P}(X_{t+h}-X_t=0)=1-\lambda h+o(h)$

$\mathbb{P}(X_{t+h}-X_t=1)=\lambda h+o(h)$

$\mathbb{P}(X_{t+h}-X_t>1)=o(h)$ при $h\to 0$,

где $o(h)$ обозначает «о малое».

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\{X_t\}$ с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. $X_0=0$.
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. $P\{X_h\ge 2\}=o(h)$ при $h\searrow 0$.

Информационные свойства

• Пусть ${\tau }_1,\dots ,{\tau }_n$ — моменты скачков процесса Пуассона. $T={\tau }_j-{\tau }_{j-1}$.

Зависит ли $T$ от предыдущей части траектории?
$\mathbb{P}(\{T>t+s\mid T>s\})$ — ?

Пусть $u(t)=\mathbb{P}(T>t)$.

$u(t\mid s)=\frac{\mathbb{P}(T>t+s\cap T>s)}{\mathbb{P}(T>s)}=\frac{\mathbb{P}(T>t+s)}{\mathbb{P}(T>s)}$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\iff u(t)=e^{-\alpha t}$.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок $[a,b]$ на временно́й оси.

$X(b)-X(a)=n$ — число скачков на отрезке $[a,b]$.
Условное распределение моментов скачков ${\tau }_1,\dots ,{\tau }_n\mid X(b)-X(a)=n$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$ из $R[a,b]$.

Плотность этого распределения $f_{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_n}(t)=\frac{n!}{(b-a{)}^n}𝕀(a⩽t_1⩽\cdots ⩽t_n⩽b)$

Центральная предельная теорема

• Теорема.

$\mathbb{P}(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}<x)\underset{\lambda t\to \mathrm{\infty }}{\stackrel{x}{\rightrightarrows }}\mathrm{\Phi }(x)\sim N(0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{u^2}{2}}du$

Скорость сходимости:
$\underset{x}{sup}\left|\mathbb{P}\right(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}<x)-\mathrm{\Phi }(x)|⩽\frac{C_0}{\sqrt{\lambda t}}$,
где $C_0$ — константа Берри-Эссеена.

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания