Модель обучения в процессе деятельности

Пол Майкл Ромер

Моде́ль обуче́ния в проце́ссе де́ятельности (модель Эрроу — Ромера, модель Пола Ромера Шаблон:Lang-en) — модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Она показывает возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от совокупного запаса капитала в экономике и эффектом перелива знаний (Шаблон:Lang-en). Модель обучения в процессе деятельности способствовала пониманию источников экономического роста, обратив внимание исследователей на эффект перелива знаний, а также на тот факт, что знания и идеи являются неконкурентным товаром. Разработана в 1986 году Полом Ромером на основании идей Кеннета Эрроу.

История создания

Кеннет Джозеф Эрроу

Первая неоклассическая модель экономического роста — модель Солоу — обладала недостатком экзогенности параметров «норма сбережений» и «темпы научно-технического прогресса», от которых зависят темпы экономического роста. Недостаток экзогенности нормы сбережений был преодолен в модели Рамсея — Касса — Купманса, после чего многие исследователи пытались построить модель, в которой экономический рост был бы эндогенным, то есть являлся бы следствием решения экономических агентов, а не задавался бы извне. Однако при постоянной отдаче от масштаба, являющейся одной из базовых неоклассических предпосылок о производственной функции, и совершенной конкуренции среди фирм, доход тратится на оплату труда и капитала, а средств на оплату научно-исследовательских работ (НИОКР) не остаётсяШаблон:Sfn. Первым выход из этого тупика предложил будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер, разработав модель обучения в процессе деятельностиШаблон:SfnШаблон:Sfn (также известную как модель Эрроу — Ромера, модель Пола РомераШаблон:SfnШаблон:Sfn), представленную в работе «Возрастающая отдача и долгосрочный рост», изданной в «Шаблон:Нп3» в октябре 1986 годаШаблон:Sfn.

Ромер использовал идеи другого лауреата Нобелевской премии по экономике, Кеннета Эрроу, изложенные в статье «Экономические последствия обучения в процессе деятельности», изданной в «Шаблон:Нп3» в июне 1962 года, о том, что процесс накопления знаний сопутствует накоплению капиталаШаблон:Sfn. Схожие идеи были изложены и в работе Шаблон:Нп3 «Оптимальное накопление обучения в процессе деятельности» в 1967 годуШаблон:Sfn. Предположения Эрроу о том, что инвестиции в производственные мощности повышают эффективность их использования, основывались на эмпирических исследованиях А. Сёрла и К. Гуди 1945 годаШаблон:Sfn по судостроительной отрасли, а также Шаблон:Нп3 1936 годаШаблон:Sfn и Г. Ашера 1956 годаШаблон:Sfn по авиастроительной отрасли. Эрроу рассматривал этот процесс в рамках отдельной отрасли, Ромер же распространил его на экономику в целом. Также он ввёл предпосылку об эффекте перелива знаний (Шаблон:Lang-en), схожим с экстерналиями от человеческого капитала в модели Нельсона — Фелпса. Производственная функция вида $Y=F(K_i,K{L}_i)$, где $K_i$ — капитал, задействованный фирмой, $K$ — совокупный запас капитала, $L_i$ — труд, задействованный фирмой, которая используется в модели, впервые была предложена М. Франкелем в статье «Производственная функция распределения и рост: синтез» в 1962 годуШаблон:SfnШаблон:Sfn. Хотя такой подход и является условным, он отражает важный факт, что знания являются неконкурентным товаром: как только некоторая технология становится широко известной, ею начинают пользоваться множество фирм, и использование её одними фирмами не препятствует использованию другимиШаблон:Sfn. Знания не являются неисключаемым благомШаблон:Sfn. Однако вопросы, связанные с патентами на новые разработки и их стоимостью, Пол Ромер рассматривал позднее в модели растущего разнообразия товаров.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый как для потребления $C$, так и для инвестиций $I$. Темпы роста населения $n$ и норма выбытия капитала $\delta$ — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время $t$ изменяется непрерывноШаблон:Sfn.

Доходы индивида состоят из заработной платы $w_t$ и поступлений от активов $r_t{a}_t$. Активы индивида $a_t$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка $r_t$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новыхШаблон:Sfn:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

где $a_t=\frac{K_t}{L_t}=k_t$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида $a_t$ совпадает с запасом капитала на одного работающего $k$.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: $S=I=sY$, $Y=C+I$.

Производственные функции $Y_{it}(K_{it},L_{it},E_t)$ фирм одинаковы $\mathrm{\forall }i$Шаблон:Sfn. Они удовлетворяют неоклассическим предпосылкамШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): $Y_{it}=Y(K_{it},L_{it}{E}_t)$.

2) в производственной функции используются труд $L$ и капитал $K$ она обладает постоянной отдачей от масштаба: $Y(a{K}_i,a{L}_{i}E)=aY(K_i,L_{i}E)$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: $\frac{\partial Y_i}{\partial K_i}>0,\frac{{\partial }^2{Y}_i}{\partial K_i^2}<0,\frac{\partial Y_i}{\partial L_i}>0,\frac{{\partial }^2{Y}_i}{\partial L_i^2}<0$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: $\underset{K_i\to 0}{\lim }\frac{\partial Y_i}{\partial K_i}=\underset{L_i\to 0}{\lim }\frac{\partial Y_i}{\partial L_i}=+\mathrm{\infty },\underset{K_i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y_i}{\partial K_i}=\underset{L_i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y_i}{\partial L_i}=0$.

5) для производства необходим каждый фактор: $Y(K_i,0)=Y(0,L_{i}E)=0$.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба-ДугласаШаблон:Sfn:

$Y(K_{it},L_{it}{E}_t)=K_{it}^{\alpha }(L_{it}{E}_t{)}^{1-\alpha },0<\alpha <1$,

где $\alpha$ — эластичность выпуска по капиталу, $(1-\alpha )$ — эластичность выпуска по труду.

Поскольку предполагается, что в экономике функционирует множество одинаковых фирм, предполагается наличие эффекта распространения знаний: работники могут обучать друг друга, и переходить из одной фирмы в другую, таким образом, фирмы получают внешний эффект от общего запаса капитала $K$ (эффект перелива знаний) в экономике не неся никаких издержекШаблон:Sfn. Совокупный запас капитала $K_t$ и совокупные трудовые ресурсы $L_t$ в экономике равны сумме (в непрерывной постановке — интегралу) капитала и трудовых ресурсов отдельных фирмШаблон:Sfn.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{K}_{it}di=K_t,$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{L}_{it}di=L_t$.

В модели предполагается, что технический прогресс зависит от знаний, приобретённых работниками на практике (отсюда и название модели — обучения в процессе деятельности). А эти знания зависят от сложности используемого оборудования, или в терминах модели — от общего объёма задействованного в экономике капиталаШаблон:Sfn. Размер фирм относительно общего размера экономики мал, потому каждая фирма считает значение $E_t$ экзогенно заданным ($\frac{\partial E_t}{\partial K_{it}}=\frac{\partial K_t}{\partial K_{it}}=0$), на которое её решения не влияютШаблон:Sfn:

$E_t=B{K}_t$,

где $B$ — технологический параметр, $B=const$.

Население растет $L_t$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом $n$: $L_t=L_0{e}^{nt},n=const$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя $u(c_t)$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$, а также обладает постоянной эластичностью замещения $\frac{u^{″}(c)}{u^{\prime }(c)}c$, и имеет видШаблон:Sfn:

$U(c)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}dt$,

где $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >0,\rho =const$.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда $y=\frac{Y}{L}$, запас капитала на единицу труда $k=\frac{K}{L}$, потребление на единицу труда $c=\frac{C}{L}$Шаблон:Sfn.

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом $n$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на $n{a}_t$. Таким образом, производная активов по времени $\dot{a}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет видШаблон:Sfn:

$\dot{a}=w+r{a}_t-c-n{a}_t$.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности $U$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Решение задачи потребителя аналогично модели Рамсея — Касса — Кумпанса. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума ПонтрягинаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

$H=\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}+{\lambda }_t(w_t+r_t{a}_t-c-n{a}_t)$

при условии:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$.

Условие максимума первого порядка: $\frac{\partial H}{\partial c}=c^{-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}-{\lambda }_t=0$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): $\frac{\partial H}{\partial a}=(r_t-n){\lambda }_t=-\dot{\lambda }$, где $\dot{\lambda }$ — производная $\lambda$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{a}_t=0$, где ${\lambda }_t$ представляют собой Шаблон:Нп3 активовШаблон:Sfn (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы ПонциШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Искомое решение, называемое также правилом Кейнса — РамсеяШаблон:Sfn, имеет вид:

$\frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta }(r_t-\rho )$,

где $\dot{c}$ — производная потребления на единицу труда по времени.

Задача фирмы

С учетом принятых предпосылок, производственную функцию можно записать следующим образомШаблон:Sfn:

$\frac{Y_t}{K}=\frac{F(K_t.B{K}_t{L}_t)}{K}=F(1,B{L}_t)=\tilde{f}(L_t)$.

ТогдаШаблон:Sfn:

$y_t=\frac{Y_t}{K_t}\times \frac{K_t}{L_t}=k_t\tilde{f}(L_t)$.

Поскольку производственная функция у фирм одинакова, задачу фирмы $i$ по максимизации прибыли ${\pi }_i$ можно записать в агрегированном видеШаблон:Sfn:

${\pi }_i=F(K_{it},B{K}_t{L}_{it})-(r_t+\delta )K_{it}-w_t{L}_{it}=L_{it}(k_t\tilde{f}(L_{it})-(r_t+\delta )k_{it}-w_t)\to \max$

В условиях совершенной конкуренции, и учитывая, что производственные функции фирм одинаковые, предельные производительности факторов производства равны их ценамШаблон:Sfn:

$\frac{\partial Y_t}{\partial L}=w_t=K_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)$,

$\frac{\partial Y_t}{\partial K}=r_t+\delta =\tilde{f}(L_t)-L_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)$.

Общее экономическое равновесие

Учитывая, что $a=k$, обозначив темп роста потребления $g_c^{*}=\frac{\dot{c}}{c}$, темп роста выпуска $g_y^{*}=\frac{\dot{y}}{y}$ и подставив полученные из решения задачи фирмы значения $r_t$ и $w_t$ в уравнение динамики активов, получимШаблон:Sfn:

$\frac{\dot{c}}{c}=g_c^{*}=\frac{1}{\theta }(\tilde{f}(L_t)-L_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)-\delta -\rho )$.

$g_c^{*}<g_y^{*}$ противоречило бы условию трансверсальности, а $g_c^{*}>g_y^{*}$ — бюджетному ограничению потребителя, потому в равновесном состоянии $g_c^{*}=g_y^{*}$Шаблон:Sfn.

В рамках принятых предпосылок, $\tilde{f}(L_t)-L_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)$ строго возрастает по $L_t$Шаблон:Sfn. Что можно показать на примере функции Кобба-Дугласа:

$\tilde{f}(L_t)-L_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)=(BL{)}^{\alpha }-\alpha B^{\alpha }{L}^{\alpha -1}=(1-\alpha )(BL{)}^{\alpha }$.

Потому в модели присутствует эффект масштаба: чем больше рабочая сила $L$, тем выше темпы ростаШаблон:Sfn.

Оптимальное экономическое равновесие

Поскольку в экономике присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются фирмами при принятии решений (согласно предпосылкам, каждая фирма считает значение $E_t$ экзогенно заданным), потому децентрализованное равновесие в модели не является оптимальным. В этой модели при централизованном планировании можно достичь более высокого равновесного уровня потребления $c$Шаблон:Sfn. Бюджетное ограничение для централизованного планирования можно записать в следующем видеШаблон:Sfn:

$\dot{k}=y_t-c_t-\delta k_t-n{k}_t=k_t\tilde{f}(L_t)-c_t-\delta k_t-n{k}_t$,

где $\dot{k}$ — производная запаса капитала на единицу труда по времени

Задачей централизованного планирования является максимизация потребления выглядит при заданном ограниченииШаблон:Sfn.

Функция Гамильтона выглядит: следующим образом:

$\hat{H}=\frac{c^{1-\theta }}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}+{\lambda }_t(k_t\tilde{f}(L_t)-c_t-\delta k_t-n{k}_t)$

при условии:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{k}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$.

Условие максимума первого порядка: $\frac{\partial \hat{H}}{\partial c}=c^{-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}-{\lambda }_t=0$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): $\frac{\partial \hat{H}}{\partial k}=(\tilde{f}(L_t)-n-\delta ){\lambda }_t=-\dot{\lambda }$, где $\dot{\lambda }$ — производная $\lambda$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{a}_t=0$, где ${\lambda }_t$ — Шаблон:Нп3 активов.

Решение этой задачи имеет видШаблон:Sfn:

$\frac{\dot{c}}{c}=g_c^{*}=\frac{1}{\theta }(\tilde{f}(L_t)-\delta -\rho )=g_y^{*}$.

Таким образом, темпы роста потребления и выпуска в модели при централизованном планировании выше, чем темпы роста при конкурентном равновесииШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Преимущества, недостатки, и дальнейшее развитие модели

Достоинством модели является то, что она, в отличие от более ранних моделей (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. Рост в модели основан на внешних эффектах от совокупного запаса капитала в экономике, за счет которых предельная производительность капитала $\frac{\partial Y}{\partial K}$ не падает при увеличении запаса капитала $K$. Технологический прогресс в модели интерпретируется как следствие обучения в процессе деятельности работниковШаблон:Sfn, а накопление знаний сопутствует накоплению капиталаШаблон:Sfn.

Модель не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатыеШаблон:Sfn. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах, бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатыеШаблон:Sfn, хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в модели обучения в процессе деятельности различия, существующие между странами, со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и все больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждаетсяШаблон:Sfn.

Существенным недостатком модели является прямая зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов $L$, которую сам Ромер объясняет эффектом перелива знаний, который позволяет каждой фирме получать внешний эффект от всего объёма капитала в экономике. На практике же ещё имеется разная степень связанности экономики внутри и между регионами, неоднородная интегрированность (например, связи между разными регионами России могут быть менее тесными, чем между странами Евросоюза), что требует введения в модель некого коэффициента степени распространения знанийШаблон:Sfn. Помимо этого, прямая зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов $L$ предполагает, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, что не нашло эмпирического подтвержденияШаблон:Sfn. Более того, модель предполагает, что при наличии роста населения темпом $n$, рост ВВП на душу населения будет ускоряться, так как $\tilde{f}(L_t)-L_t{\tilde{f}}^{\prime }(L_t)$ строго возрастает по $L_t$, но в реальности же исследователи отмечали, что многие развивающиеся страны попадают мальтузианскую ловушку, когда слишком быстрый рост населения приводит к снижению уровня ВВП на душу населения даже при условии, что экономика в целом растет, но меньшими темпами, чем население (см. неомальтузианство). Многие исследователи показывали, что большие страны не растут быстрее малых. Например, Чарльз Джонс показал, что такая предпосылка не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил Шаблон:Нп3, объясняющую полученные результаты, являющуюся упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаровШаблон:Sfn.

Ранние исследования, использовавшие данные по промышленному производству в США, обнаружили, что в некоторых отраслях наблюдается положительное влияние опыта на производительность трудаШаблон:Sfn. Но более поздние оценки производственной функции США не подтвердили наличия статистически значимых внешних эффектов от размера капиталаШаблон:Sfn. Но даже ранние исследования фиксировали лишь незначительные внешние эффекты, намного меньшие, чем предсказываемое по модели влияние капитала. В модели в понятие «капитал» включается много различных типов деятельности: физический капитал, человеческий капитал, обучение, создание новых продуктов. Из-за того, что столь различные понятия объединены в одну переменную $K$, модель носит достаточно ограниченный характерШаблон:Sfn.

Тем не менее модель обучения в процессе деятельности внесла свой вклад в понимание источников экономического роста, обратив внимание исследователей на эффект перелива знаний, а также на тот факт, что знания и идеи являются неконкурентным товаромШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья