Модель пересекающихся поколений

Питер Артур Даймонд

Пол Энтони Самуэльсон

Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, Шаблон:Lang-en) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителяШаблон:Sfn. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратитШаблон:Sfn. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию)Шаблон:Sfn. В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале Шаблон:Нп3, в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколенийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, также известную как модель ДаймондаШаблон:Sfn, модель Самуэльсона — ДаймондаШаблон:Sfn.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый как для потребления $C$, так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) $I$. Темпы технологического прогресса $g$, роста населения $n$ и норма выбытия оборудования (капитала) $\delta$ — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время $t$ изменяется дискретноШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годамШаблон:Sfn.

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:$S=I$, $Y=C+I$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Производственная функция $Y(K,L,E)$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкамШаблон:Sfn:

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): $Y_t=Y(K_t,L_t{E}_t),E_t=(1+g)E_{t-1},g=const$.
2. в производственной функции используются труд $L$ и капитал $K$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: $Y(aK,aLE)=aY(K,LE)$.
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: $\frac{\partial Y}{\partial K}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial K^2}<0,\frac{\partial Y}{\partial L}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial L^2}<0$.
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: $\underset{K\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{L\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=+\mathrm{\infty },\underset{K\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{L\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=0$.
5. для производства необходим каждый фактор: $Y(K,0)=Y(0,LE)=0$.

Население $L_t$ растёт с постоянным темпом $n$: $L_t=(1+n)L_{t-1},n=const$. В каждом периоде $t$ живёт $L_t$ молодых и $L_{t-1}$ пожилых индивидов. Совокупное потребление $C$ равноШаблон:Sfn:

$C_t=c_{1t}{L}_t+c_{2t}{L}_{t-1}$,

где $c_{1t}{L}_t$ — потребление работающего поколения, $c_{2t}{L}_{t-1}$ — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функциейШаблон:Sfn:

$U_t=\frac{c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho }\times \frac{c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }$,

где $\frac{1}{\theta }$ — эластичность замещения по времени, $\theta >0$, $\theta =const$, $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >-1$, $\rho =const$.

Функция удовлетворяет условиям $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$.

Вначале весь капитал $K_0$ находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периодеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$S_t=s_t{L}_t=I_t=K_{t+1}$,

где $s_t$ — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда $y=\frac{Y}{LE}$, капитал на единицу эффективного труда $k=\frac{K}{LE}$Шаблон:Sfn.

Задача потребителя

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формулеШаблон:Sfn:

$c_{1t}+\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=w_t{E}_t$.

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

$U_t\to max$

при условии:

$w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0$,

где $w_t$ — реальная заработная плата в периоде $t$.

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимумШаблон:Sfn.

$L=\frac{c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{c_{2t}^{1-\theta }-1}{(1-\theta )(1+\rho )}+\lambda (w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{r_{t+1}})$.

Условия максимума:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial c_{1t}}=c_{1t}^{-\theta }-\lambda =0,\\ \frac{\partial L}{\partial c_{2t+1}}=\frac{c_{2t+1}^{-\theta }}{1+\rho }-\frac{\lambda }{1+r_{t+1}}=0,\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0.\end{array}$

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений ${\overline{s}}_t$ для периода $t$Шаблон:Sfn:

${\overline{s}}_t=\frac{{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho {)}^{\frac{1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}$.

Задача фирмы

Фирма максимизирует свою прибыль $\pi$. Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функциейШаблон:Sfn:

$y_t=f({\hat{k}}_t)$, где ${\hat{k}}_t=\frac{K_t}{L_t{E}_t}$.

Задача фирмы выглядит следующим образом:

$\pi =F(K_t,L_t)-r_t{K}_t-w_t{L}_t\to \max$

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) $w$ и плата за капитал $r$ (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностямШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{\partial Y_t}{\partial L}=w_t=f({\hat{k}}_t)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t)$,

$\frac{\partial Y_t}{\partial K}=r_t+\delta =f^{\prime }({\hat{k}}_t)$.

Общее экономическое равновесие

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:$K_{t+1}=s_t{L}_t$. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаемШаблон:Sfn:

${\hat{k}}_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\times \frac{(1+f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta {)}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho {)}^{\frac{1}{\theta }}+(1+f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta {)}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}\times (f({\hat{k}}_t)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t))$.

Поскольку ${\hat{k}}_{t+1}$ входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке (${s_t}^{\prime }(r_t)>0$), то это равновесие является единственным.

Если обозначить $s(r_{t+1},w_t)=\frac{s_t}{E_t}$, где $s(r_{t+1},w_t)$ — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде $t$, то уравнение примет видШаблон:Sfn:

$(1+n)(1+g){\hat{k}}_{t+1}=s([f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat{k}}_1)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t)])$.

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённостиШаблон:Sfn:

$\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}=\frac{-s{\text{'}}_w{\hat{k}}_t{f}^{″}({\hat{k}}_t)}{(1+n)(1+g)-s{\text{'}}_r{f}^{″}({\hat{k}}_{t+1})}$.

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ${\hat{k}}_t={\hat{k}}_{t+1}$), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ и ${\hat{k}}_{t+1}={\hat{k}}_t$), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ${\hat{k}}_t={\hat{k}}_{t+1}$), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивымиШаблон:Sfn.

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае $\theta =0$, а полезность трат для индивида описывается функциейШаблон:Sfn:

$U=\ln (c_{1t})+\frac{\ln (c_{2t+1})}{1+\rho }$.

Выпуск $Y$ описывается следующей функцией:

$Y=K^{\alpha }(LE{)}^{1-\alpha }$.

Тогда, норма сбережений равна: ${\overline{s}}_t=\overline{s}=\frac{1}{2+\rho }$, а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равенШаблон:SfnШаблон:Sfn: ${\hat{k}}^{*}=(\frac{1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}{)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$.

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью ${\hat{y}}^{*}$ в этом случае составляет:

${\hat{y}}^{*}={\hat{k}}^{*\alpha }=(\frac{1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$.

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если $f^{\prime }({\hat{k}}^{*})=n+g+\delta$. Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, еслиШаблон:Sfn:

$\frac{\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }<n+g+\delta$.

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации ${\hat{k}}_{t+1}$ в зависимости от ${\hat{k}}_t$ посредством разложения в ряд ТейлораШаблон:Sfn:

${\hat{k}}_{t+1}\approx {\hat{k}}^{*}+\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}{|}_{{\hat{k}}_t={\hat{k}}^{*}}({\hat{k}}_t-{\hat{k}}^{*})$.

Если обозначить производную в точке равновесия $\lambda =\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}{|}_{{\hat{k}}_t={\hat{k}}^{*}}$, то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

${\hat{k}}_{t+1}-{\hat{k}}^{*}={\lambda }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})$.

Для рассматриваемого случая, $\lambda =\alpha$, потому:

${\hat{k}}_{t+1}-{\hat{k}}^{*}={\lambda }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})={\alpha }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})$.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от $\alpha$ — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатыеШаблон:Sfn.

Фискальная политика в модели

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ сдвигается вниз на величину ${\hat{G}}_t={\hat{T}}_t$ — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки $A$ (устойчивое равновесие) в точку $B$ (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости ${\hat{k}}^{*}:{\hat{k}}_B^{*}<{\hat{k}}_A^{*}$ и потребления. Появившаяся третья равновесная точка $C$ является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняетсяШаблон:SfnШаблон:Sfn. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестицииШаблон:Sfn.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениямиШаблон:Sfn. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони, а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентомШаблон:SfnШаблон:Sfn. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда $\rho =0$. Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономикеШаблон:Sfn.

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблениемШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежнимШаблон:Sfn.

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом ЯариШаблон:Sfn и Оливье БланшаромШаблон:Sfn. Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости»Шаблон:Sfn. В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесияШаблон:Sfn.

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — КупмансаШаблон:Sfn. Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капиталаШаблон:Sfn. К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. ДжонсаШаблон:Sfn, Дж. Де ЛонгаШаблон:Sfn, П. РомераШаблон:Sfn. Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первыхШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья