Модель растущего разнообразия товаров

Пол Майкл Ромер

Моде́ль расту́щего разнообра́зия това́ров (модель Пола Ромера, Шаблон:Lang-en) — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного поведенческими факторами. В модели технологический прогресс является следствием целенаправленной деятельности экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Модель внесла существенный вклад в понимание того, каким образом решения индивидов влияют на темпы экономического роста, а также причин, по которым бедные страны не могут догнать богатые. Разработана в 1988 году Полом Ромером.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научного прогресса», от которых в конечном итоге и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Появившиеся позже модели Рамсея — Касса — Купманса и пересекающихся поколений преодолели недостаток экзогенности нормы сбережений — теперь эта величина определялась исходя из индивидуальных решений экономических агентов. Однако темп научного прогресса остался экзогенным в этих моделях, и во многом поэтому они тоже не смогли объяснить межстрановые различия. Модели, объясняющие экономический рост путём переопределения понятия «капитал», и включившие человеческий капитал в производственную функцию (например, модель Мэнкью — Ромера — Вейла) также не объясняют всех различий между темпами роста и уровнем развития разных стран, даже после учёта различий в человеческом капиталеШаблон:Sfn. Это показали, например, исследования Р. Холла и Ч. ДжонсаШаблон:Sfn, Дж. Де ЛонгаШаблон:Sfn, П. РомераШаблон:Sfn. Попытки прямого включения переменной научного прогресса в производственную функцию натолкнулись на ограничение, связанное с отдачей от масштаба. В условиях совершенной конкуренции при постоянной отдаче от масштаба доход фирмы полностью уходил на оплату труда и капитала. Поэтому будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер предложил использовать в моделях монополистическую конкуренцию для объяснения темпов технологического прогрессаШаблон:Sfn. Модель растущего разнообразия товаровШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (также известная как модель Пола РомераШаблон:Sfn) была представлена на конференции «Проблема экономического развития: изучение экономического развития через свободное предпринимательство», состоявшейся в Университете штата Нью-Йорк в Буффало в мае 1988 года, опубликована в работе Пола Ромера «Эндогенные технологические изменения»Шаблон:Sfn в декабре 1989 года в NBER и издана в Шаблон:Нп3 в 1990 годуШаблон:Sfn.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3 и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время $t$ изменяется непрерывноШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Трудовые ресурсы $L$, считающиеся в модели постоянными ($L=const$), распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКРШаблон:Sfn:

$L=L_Y+L_{RD}$,

где $L_Y$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве, которые в модели считаются постоянными во времени, $L_Y=const$, $L_{RD}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе, $L_{RD}=const$.

Производственная функция обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — СтиглицаШаблон:Sfn:

$Y_t=A{L}_Y^{1-\alpha }\underset{0}{\overset{N_t}{\int }}{x}_j^{\alpha }dj$,

где $Y_t$ — выпуск конечного продукта, $A$ — уровень технологической производительности в экономике, $A=const$, $\alpha$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, $0<\alpha <1$, $\alpha =const$, $x_j$ — количество используемого $j$-го промежуточного продукта, $N_t$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени $t$.

Физический капитал $K$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном циклеШаблон:Sfn:

$K_t=\underset{0}{\overset{N_t}{\int }}{x}_{j}dj$.

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: $P=1$. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: $p_j=\frac{P_j}{P}$. Реальная заработная плата равна $w=\frac{W}{P}$.

Инвестиции $I$ в модели равны сбережениям $S$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетовШаблон:Sfn:

$I_t=\dot{K}=Y_t-C_t$,

где $C_t=c_{t}L$ — совокупное потребление, $c_t$ — потребление на единицу труда в момент времени $t$, $\dot{K}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — КупмансаШаблон:Sfn:

$U(c)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }dt$,

где $\frac{1}{\theta }$ — эластичность замещения по времени, $\theta >0$, $\theta =const$, $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >-1$, $\rho =const$. Функция удовлетворяет условиям $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$.

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида состоят из заработной платы $w$ и поступлений от активов $r{a}_t$. Активы индивида $a_t$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка $r_t$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новыхШаблон:Sfn:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }⩾0$,

где $a_t=\frac{K_t}{L_t}=k_t$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида $a$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Задача фирмы и производство промежуточного и конечного продуктов

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Задача фирмы-производителя конечных товаров выглядит следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$A{L}_Y^{1-\alpha }\underset{0}{\overset{N_t}{\int }}{x}_j^{\alpha }dj-\underset{0}{\overset{N_t}{\int }}{p}_j{x}_{j}dj-w{L}_Y⟶\underset{x_j,L_Y}{\max }$,

Необходимые условия максимума выглядят следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$p_j=\alpha A{x}_j^{\alpha -1}{L}_Y^{1-\alpha }\mathrm{\forall }j$,

$w=(1-\alpha )A{L}_Y^{-\alpha }\underset{0}{\overset{N_t}{\int }}{x}_j^{\alpha }dj$

Для упрощения вычислений автор принимает предпосылку о том, что все промежуточные продукты одинаковыШаблон:Sfn $x_j=x\mathrm{\forall }j$, что означает, что и их цены равны: $p_j=p_x\mathrm{\forall }j$. В этом случае функция спроса на $j$-й промежуточный продукт имеет вид:

$x_j=x=L_Y{\left(A\frac{\alpha }{p_x}\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$.

Далее вводится предпосылка о том, что ввод нового $(j+1)$-го товара вознаграждается монополией на его производство, а издержки единицы промежуточного продукта равны $\gamma$. Тогда задача максимизации прибыли монополиста-производителя нового товара примет следующий вид:

$\alpha A{x}_{j+1}^{\alpha -1}{L}_Y^{1-\alpha }-\gamma x_{j+1}⟶\underset{x_{j+1}}{\max }$.

Откуда следует, что цена нового товара равна: $p_{j+1}=\frac{\gamma }{\alpha }$.

Поскольку действует предпосылка о симметрии, это означает, что цены всех промежуточных товаров $x_j$ равны между собой. В итоге получаем производственную функцию следующего видаШаблон:Sfn:

$Y_t=A^{\frac{1}{1-\alpha }}{\left(\frac{{\alpha }^2}{\gamma }\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}{N}_t{L}_Y$.

Прибыль производителя промежуточного продукта — ${\pi }_x$ — равнаШаблон:Sfn:

${\pi }_x=(1-\alpha ){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac{1+\alpha }{1-\alpha }}{A}^{\frac{1}{1-\alpha }}{L}_Y=const$.

Научно-исследовательский сектор и патенты

Патент в модели даёт монопольное право на производство одного вида промежуточного продукта. Цена патента равна стоимости будущей дисконтированной прибыли фирмы-монополиста. $q$ — цена патента, имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$q={\pi }_x\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\underset{t}{\overset{s}{\int }}{r}_{\nu }d\nu }ds$,

где $r$ — процентная ставка.

Производная $q$ по времени имеет следующий вид: $\dot{q}=-{\pi }_x+r_t{q}_t$.

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравненияШаблон:Sfn:

$\dot{N}=b{L}_{RD}{N}_t$,

где $b$ — производительность в научно-исследовательском секторе, $b=const$, $\dot{N}$ — производная количества промежуточных продуктов по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров $N_t$.

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента $q$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии $\eta$Шаблон:Sfn:

$q=\frac{w}{bN}=const=\eta$.

Задача потребителя и экономический рост

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). С учетом того, что население постоянно, бюджетное ограничение имеет вид:

$\dot{a}=w_t+r_t{a}_t-c$.

Задача потребителя, как и в большинстве других моделей экономического роста, в том, чтобы максимизировать свою полезность. Максимум функции полезности $U(c)$ находится путём построения функции Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Функция Гамильтона выглядит следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$H=\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-\rho t}+{\lambda }_t(w+r{a}_t-c)$

при условии:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }⩾0$.

Условие максимума первого порядка: $\frac{\partial H}{\partial c}=c^{-\theta }{e}^{-\rho t}-{\lambda }_t=0$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): $\frac{\partial H}{\partial a}=r{\lambda }_t=-\dot{\lambda }$, где $\dot{\lambda }$ — производная $\lambda$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{a}_t=0$, где ${\lambda }_t$ представляют собой Шаблон:Нп3 активовШаблон:Sfn (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы ПонциШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Решение выглядит следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta }(r_t-\rho )$,

где $\dot{c}$ — производная потребления на душу населения по времени.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента $q$ постоянна, потомуШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$r_t=\frac{\pi }{q}$,

$\frac{\dot{c}}{c}=\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{K}}{K}=\frac{1}{\theta }(\frac{\pi }{q}-\rho )=\frac{1}{\theta }(\alpha b{L}_Y-\rho )=const$,

где $\dot{Y}$ — производная выпуска по времени.

Таким образом, внутренние параметры модели определяют темпы экономического роста без участия экзогенно задаваемой нормы сбережений.

Оптимальные темпы роста

Оптимальные с точки зрения общества в целом темпы роста находятся из решения следующей задачи централизованного планированияШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\max \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{C^{1-\theta }}{1-\theta }{e}^{-\rho t}dt$

при условиях

$\dot{K}=Y_t-C_t=K_t^{\alpha }A{L}_Y^{1-\alpha }{N}^{1-\alpha }-C_t$,

$\dot{N}=b{L}_{RD}{N}_t$,

$L_Y+L_{RD}=L$.

Для решения этой задачи динамической оптимизации строится функция Гамильтона, которая решается при помощи принципа максимума ПонтрягинаШаблон:Sfn:

$\hat{H}=\frac{C^{1-\theta }}{1-\theta }{e}^{-\rho t}+{\lambda }_t(Y_t-C_t)+{\mu }_{t}b{L}_{RD}{N}_t+\chi (L_Y+L_{RD}-L)$.

Условия максимума первого порядка:

$\frac{\partial \hat{H}}{\partial C}=C^{-\theta }{e}^{-\rho t}-{\lambda }_t=0$,

$\frac{\partial \hat{H}}{\partial L_Y}={\lambda }_t(1-\alpha )A(\frac{K_t}{L_Y}{)}^{\alpha }{N}^{1-\alpha }+\chi =0$,

$\frac{\partial \hat{H}}{\partial L_{RD}}={\mu }_{t}b{N}_t+\chi =0$.

Фазовые координаты (сопряжённые уравнения):

$\frac{\partial \hat{H}}{\partial K}={\lambda }_t\alpha A(\frac{L_Y}{K_t}{)}^{1-\alpha }{N}^{1-\alpha }=-\dot{\lambda }$,

$\frac{\partial \hat{H}}{\partial N}={\lambda }_t(1-\alpha )K^{\alpha }{L}_Y^{1-\alpha }{N}^{-\alpha }+{\mu }_{t}b{L}_{RD}=-\dot{\mu }$,

где $\dot{\lambda }$ и $\dot{\mu }$ — производные $\lambda$ и $\mu$ по времени, где ${\lambda }_t$ представляет собой теневую цену капитала, а ${\mu }_t$ — теневую цену научных исследований.

Исходя из фазовых координат и условий максимума первого порядка находятся оптимальные темпы ростаШаблон:Sfn:

$(\frac{\dot{Y}}{Y}{)}_{opt}=\frac{1}{\theta }((1-\alpha {)}^{-\frac{1}{\alpha }}\alpha bL-\rho )$.

Более высокие темпы роста при централизованном планировании (поскольку $(1-\alpha {)}^{-\frac{1}{\alpha }}>1$)Шаблон:Sfn, чем при максимизации прибылей фирм-монополистов, достигаются за счёт того, что, во-первых, учитывается весь объём выпуска, а не только прибыль монополистов, во-вторых, учитывается отдача всех трудовых ресурсов $L$, а не только тех, которые формируют прибыль монополистов, и в-третьих, уровень финансирования научно-исследовательского сектора выше. Однако данные темпы роста достижимы лишь в теории, механизма перехода к оптимальным параметрам модель не предполагаетШаблон:Sfn.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

В предшествующих моделях экономического роста (например, АК-модель, модель пересекающихся поколений, модель Рамсея — Касса — Купманса) не была раскрыта целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. В них инвестиционные решения принимаются опосредованно, через оптимальный уровень физического капитала. Явная же спецификация издержек и выгод от инвестиций отсутствовала. Модель растущего разнообразия товаров преодолела этот недостаток: в ней издержки и выгоды от инвестиций отражены в явном виде. Таким образом, экономический рост в модели является следствием решений индивидов, а не экзогенно задаваемой переменной, что является несомненным её преимуществомШаблон:Sfn. Вследствие этого модель растущего разнообразия товаров существенно лучше объясняет различия в технологическом уровне между странами, чем предшествующие модели, которые в большинстве своём предполагали наличие абсолютной или условной конвергенции, что означает, что бедные страны по своему уровню развития должны догонять богатые. В реальности же лишь есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо), когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве случаев сближения уровня развития не происходитШаблон:Sfn. Модель растущего разнообразия товаров не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатыеШаблон:Sfn.

Вместе с тем существенным недостатком модели является отсутствие перетока технологий между странамиШаблон:Sfn. Однако модель обладает большим потенциалом для дальнейших расширений и включения дополнительных эффектовШаблон:Sfn. Этим воспользовались Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин, создавшие модель распространения технологий, преодолевшую этот недостатокШаблон:Sfn. В их исследовании моделируется процесс движения технологий между странами. Страны делятся на 2 группы: страны-лидеры разрабатывает новые технологии, а страны-последователи пытаются их повторить. В этой модели наблюдается условная конвергенция. Помимо этого, в модели Барро и Сала-и-Мартина показано, что страны-последователи имеют более высокую ставку процента, чем страны-лидеры, но она снижается в долгосрочном периоде. В странах-лидерах ставка процента колеблется вокруг равновесного значенияШаблон:Sfn.

Другим существенным недостатком модели является зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов $L$, что предполагает, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, что не нашло эмпирического подтвержденияШаблон:Sfn. Например, Чарльз Джонс показал, что это не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил Шаблон:Нп3, объясняющую полученные результаты, которая является упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров, в которой количество инноваций зависит не от общего числа, а от доли населения, занятого в секторе НИОКРШаблон:Sfn.

Джин Гроссман и Эльханан Хелпман использовали модель растущего разнообразия товаров для анализа последствий мировой торговлиШаблон:Sfn. Модель Ромера является одним из источников Шаблон:Нп3, в частности, моделей приспособленности стран и сложности продуктов, разрабатываемых Шаблон:Нп3 и его коллегамиШаблон:Sfn.

В 2018 году Пол Ромер получил Нобелевскую премию по экономике, и ряд экспертов связывают её с разработкой модели растущего разнообразия товаров, поскольку она стала основой для исследований разницы между богатыми и бедными странами, а также позволяет рассчитать стоимость патента.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья