Постоянная эластичность замещения

Постоянная эластичность замещения (Шаблон:Lang-en, CES) — свойство, которым может обладать производственная функция или функция полезности. Постоянство эластичности замещения означает, что эластичность пропорции аргументов функции по отношению к пропорции их предельных продуктов будет неизменной при любых значениях аргументов. Функции с постоянной эластичностью замещения иногда называют функциями CES или CES-функциями по английской аббревиатуре данного термина. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции. Например, функция Кобба — Дугласа является функцией с единичной эластичностью замещения, а производственная функция Леонтьева — с нулевой эластичностью замещения.

Формальное определение

Однородная функция CES в дискретном случае имеет следующий вид:

$F(x_1,...,x_n)=A{\left(\sum _i{\alpha }_i{x}_i^{\rho }\right)}^{\frac{\beta }{\rho }}$, где $\sum _i{\alpha }_i=1$, ${\alpha }_i>0,A>0$

Параметр $\beta$ определяет степень однородности, в частности при $\beta =1$ имеем линейно-однородную функцию.

Иногда используют также обобщённую неоднородную функцию CES (функцию Солоу):

$F(x_1,...,x_n)=A{\left(\sum _i{\alpha }_i{x}_i^{{\rho }_i}\right)}^{\beta }$

Однородная функция CES в непрерывном случае имеет следующий вид:

$F(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x_i^{\rho }\right)}^{\frac{1}{\rho }}di$

Здесь множество благ или факторов производства $x$ представляет собой единичный континуум.

Свойства и связь с другими функциями

Основное свойство данной функции — постоянная эластичность замещения. А именно, можно показать, что эластичность замещения для данной функции равна

$\sigma =\frac{1}{1-\rho }$

Если $\rho$ стремится к нулю, то данная функция стремится к производственной функции Кобба-Дугласа, эластичность замещения которой как раз равна 1. Если $\rho$ стремится к бесконечности, то имеем функцию с нулевой эластичностью замещения — производственную функцию Леонтьева.

Использование

Функция полезности с постоянной эластичностью замещения используется в модели монополистической конкуренции Диксита — Стиглица — Кругмана. Модель позволяет анализировать рынки несовершенных субститутов. Она объясняет появление наценки, то есть превышение цены товара над предельными издержками. В предельном случае, когда параметр функции стремится к единице, эластичность становится равной бесконечности. При этом модель описывает совершенно конкурентный рынок.

См. также

• Эластичность замещения
• Производственная функция
• Функция Кобба — Дугласа