Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть $K_0$ и $K_1$ — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_0+\lambda K_1$, $\lambda \in [0,1]$, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств $K_0$ и $K_1$ в отношении $\lambda$ к $(1-\lambda )$. Тогда функция

$f(\lambda )=\sqrt[n]{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}{K}_{\lambda }}$

есть вогнутая функция от $\lambda$.

Более того, функция $f(\lambda )$ линейна в том и только в том случае, когда $K_0$ и $K_1$ гомотетичны.

Замечания

• Неравенство легко выводится из своего частного случая

  $\sqrt[n]{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(A+B)}\ge \sqrt[n]{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}A}+\sqrt[n]{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}B}$

для любых компактных выпуклых тел $A$ и $B$ — в n-мерном пространстве.

Следствия

• Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу $W$ и к его центральносимметричной копии $W^{\prime }$.
• Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским, обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником.

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман. В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

• Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

• В. Бляшке, Круг и шар. Шаблон:М.: Наука, 1967.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга