Обратная матрица Дразина

Дразина обратная матрица — обобщение понятия обратной матрицы, предложенное Шаблон:Iw.

Пусть A — квадратная матрица. Под индексом матрицы A понимают наименьшее неотрицательное целое k, такое, что rank (A^k+1) = rank(A^k). Матрица, обратная по Дразину для матрицы A — это единственная матрица A^D, удовлетворяющая условиям

$A^{k+1}{A}^{\text{D}}=A^k,A^{\text{D}}A{A}^{\text{D}}=A^{\text{D}},A{A}^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.$

Эта матрица не является псевдообратной в классическом смысле, поскольку в общем случае $A{A}^{\text{D}}A\ne A$.

Свойства

• Если матрица A обратима и её обратная обозначена $A^{-1}$, то $A^{\text{D}}=A^{-1}$.
• Матрица, обратная по Дразину, инвариантна по отношению к сопряжению. Если $A^{\text{D}}$ — матрица, обратная по Дразину для матрицы $A$, то матрица $P{A}^{\text{D}}{P}^{-1}$ — обратная по Дразину для матрицы $PA{P}^{-1}$.
• Проектор P, определённый как матрица, такая, что P² = P, имеет индекс 1 (или 0), Для него матрица, обратная по Дразину, имеет вид P^D = P.
• Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига), то $A^{\text{D}}=0.$

Жорданова нормальная форма

Поскольку определение матрицы, обратной по Дразину, инвариантно относительно матричных сопряжений, записываемых как $A=PJ{P}^{-1}$, где J — Жорданова нормальная форма, то $A^{\text{D}}=P{J}^{\text{D}}{P}^{-1}$. Матрица, обратная по Дразину, таким образом отображает обратимые Жордановы клетки в им обратные, а нильпотентные Жордановы клетки — в нулевые.

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Ссылки

• Drazin inverse