Отображение Веронезе

Отображение Веронезе — отображение из ${ℝ}^{n+1}$ в пространство симметричных матриц $(n+1)\times (n+1)$ определённое формулой

$V:(x_0,\dots ,x_n)\to \left(\begin{array}{cccc}{x}_0\cdot x_0& x_0\cdot x_1& \dots & x_0\cdot x_n\\ x_1\cdot x_0& x_1\cdot x_1& \dots & x_1\cdot x_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n\cdot x_0& x_n\cdot x_1& \dots & x_n\cdot x_n\end{array}\right).$

Заметим, что $V(x)=V(-x)$ для любого $x\in {ℝ}^{n+1}$. В частности, сужение $V$ на единичную сферу ${𝕊}^n$ факторизуется через проективное пространство $ℝ{\mathrm{P}}^n$. Это так назывемое называется вложением Веронезе $ℝ{\mathrm{P}}^n$. Образ вложения Веронезе называется подмногообразием Веронезе, а при $n=2$ — поверхностью Веронезе.

Свойства

• Матрицы в образе вложении Веронезе задают проекции на одномерные подпространства в ${ℝ}^{n+1}$. Их можно описать уравнениями

  $A^T=A,\mathrm{t}\mathrm{r}A=1,A^2=A.$

То есть матрицы в образе $ℝ{\mathrm{P}}^n$ имеют единичный след и единичную норму. В частности верно следующее.

• Образ лежит в афинном пространстве размерности $n+\frac{n\cdot (n+1)}{2}$.
• Образ лежит в $(n-1+\frac{n\cdot (n+1)}{2})$-сфере радиуса $r_n=\sqrt{1-\frac{1}{n+1}}$
  • Более того образ является минимальным подмногообразием в этой сфере.

• Вложение Веронезе индуцирует риманову метрику $2\cdot g$, где $g$ обозначает каноническую метрику на $ℝ{\mathrm{P}}^{n-1}$.

• Вложение Веронезе переводит каждую геодезическую $ℝ{\mathrm{P}}^{n-1}$ в окружность радиуса $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
  • В частности, все нормальные кривизны образа равны $\sqrt{2}$.

• Многообразие Веронезе является внешне симметрическим, то есть отражение в любой его нормальном пространстве переводит многообразие в себя.

Вариации и обобщения

Ананлоги вложений Веронезе строятся для комплексных и кватернионных проективных пространстсв, а также для плоскости Кэли.

Литература

• Cecil, T. E.; Ryan, P. J. Tight and taut immersions of manifolds Res. Notes in Math., 107, 1985.
• K. Sakamoto, Planar geodesic immersions, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.