Парная корреляционная гипотеза Монтгомери

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

Па́рная корреляцио́нная гипо́теза Монтго́мери — гипотеза американского математика Хью Монтгомери (1973) о том, что парная корреляция между парами нулей дзета-функции Римана (нормированная к единице среднего расстояния) естьШаблон:Sfn:

$1-{\left(\frac{\sin (\pi u)}{\pi u}\right)}^2+\delta (u),$

что, как указал ему (1972) Фримен ДайсонШаблон:SfnШаблон:Sfn, совпадает с парной корреляционной функцией (иначе говоря — с формфактором для парных корреляций) собственных значений гауссовых случайных эрмитовых матриц. Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2πL/log(T) на расстоянии 2πu/log(T) от нуля 1/2+iT примерно в L раз превышает приведённое выше выражение (коэффициент 2π/log(T) является нормировочным фактором, который можно неофициально представить как среднее расстояние между нулями с мнимой частью относительно T). Шаблон:Нп3 (1987) показалШаблон:Sfn, что гипотеза была подтверждена крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей дзета-функции Римана. Гипотеза была распространена на корреляции более 2 нулей, а также на дзета-функции автоморфных представленийШаблон:Sfn. В 1982 году студент Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу о парной корреляции для некоторых L-функций ДирихлеШаблон:Sfn.

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана. Гипотеза Гильберта — Пойи утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора, и подразумевает RH. Ряд исследователей считают, что это является перспективным подходомШаблон:Sfn.

Монтгомери изучал преобразование Фурье F(x) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что она равна |x| для |x|<1. Его методы не смогли определить его для |x|≥1, но он предположил, что он был равен 1 для этих x, что подразумевает, что парная корреляционная функция такая же, как и выше. Он также был мотивирован тем, что гипотеза Римана не является «кирпичной стеной», и можно смело высказывать более сильные предположения.

Численный подсчёт Одлыжко

Вещественная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА. Синие точки описывают нормализованные расстояния первых 10⁵ нетривиальных нулей дзета-функции Римана.

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей дзета-функции Римана. Используя самый быстрый в мире суперкомпьютер Cray X-MP, проведя детальные численные расчёты, он продемонстрировал подтверждение гипотезы Монтгомери и соответствие распределения расстояний между нетривиальными нулями собственным значениям случайной матрицы гауссова унитарного ансамбля (ГУА). Результаты Одлыжко опубликовал в 1987 году в статье «О распределении интервалов между нулями дзета-функции»Шаблон:Sfn.

Как отмечает ДербиширШаблон:Sfn, результаты Одлыжко оказались не полностью убедительными — малых интервалов получилось несколько больше, чем предсказывалось моделью ГУА. Дальнейшие исследования прояснили ситуацию с несоответствиями, и парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала «законом Монтгомери — Одлыжко» (впервые упоминание о «законе Монтгомери — Одлыжко» появилось в статье Николаса Каца и Питера Сарнака 1999 года): Шаблон:Bquote

Для нетривиального нуля, 1/2+iγ_n, пусть нормированные расстояния будут

${\delta }_n=\frac{{\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n}{2\pi }\log \frac{{\gamma }_n}{2\pi }.$

Тогда мы ожидаем следующую формулу в качестве предела для $M,N\to \mathrm{\infty }$:

$\frac{1}{M}\{(n,k)|N\le n\le N+M,k\ge 0,$${\delta }_n+{\delta }_{n+1}+\cdots +{\delta }_{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}$$\sim \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(1-(\frac{\sin \pi u}{\pi u}{)}^2)du$

Основываясь на новом алгоритме, разработанном Одлыжко и Шаблон:Нп3, позволившим им вычислить значение ζ(1/2 + it) в среднем времени t^ε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 10²⁰ и дал ряд доказательств для ГУА-гипотезыШаблон:Sfn.

На рисунке представлены первые 10⁵ нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше выборок из нулей, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы ГУА.

Связь с квантовым хаосом

Как указывает кандидат физико-математических наук Трушечкин А. С., распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана тесно связано с явлением квантового хаосаШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:Bquote

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья