Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы по областям $\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2$. Тогда:

1. Линейность: $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }(\alpha f+\beta g)d\sigma =\alpha \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma +\beta \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gd\sigma$ для любых вещественных чисел $\alpha ,\beta \in ℝ$.
2. Аддитивность: $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fd\sigma +\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma =\underset{{\mathrm{\Phi }}_1\cup {\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma$ при условии, что ${\mathrm{\Phi }}_1$ и ${\mathrm{\Phi }}_2$ не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
   • если $f⩾g$, то $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma ⩾\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gd\sigma$;
   • для $f⩾0$, если ${\mathrm{\Phi }}_1\subset {\mathrm{\Phi }}_2$, то $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fd\sigma <\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fd\sigma$.
4. Теорема о среднем для непрерывной функции $f$ и замкнутой ограниченной поверхности $\mathrm{\Phi }$:

   $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fd\sigma =f(\xi )\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }d\sigma =f(\xi )\mu (\mathrm{\Phi })$, где $\xi \in \mathrm{\Phi }$, а $\mu (\mathrm{\Phi })$ — площадь области $\mathrm{\Phi }$.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность $\mathrm{\Phi }$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением $z=z(x,y)$ причём точка $(x,y)$ изменяется в области $(D)$ на плоскости $xy$, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности $\mathrm{\Phi }$ определена некоторая функция $f(M)=f(x,y,z)$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части ${\mathrm{\Phi }}_i(i=1,\dots ,n)$ и выбрав на каждой такой части точку $M_i(x_i,y_i,z_i)$, вычислим значение функции $f(M_i)=f(x_i,y_i,z_i)$ в данной точке и умножим его на площадь $D_i$ проекции на плоскость $xy$ элемента ${\mathrm{\Phi }}_i$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

$\sum _{i=1}^{n}f(M_i)D_i=\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)D_i.$

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

$f(M)dxdy=f(x,y,z)dxdy,$

распространённым на выбранную сторону поверхности $\mathrm{\Phi }$, и обозначают символом

$I=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(M)dxdy=\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dxdy$

(здесь $dxdy$ напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость $xy$).

Если вместо плоскости $xy$ спроектировать элементы поверхности на плоскость $yz$ или $zx$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

$\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dydz$ или $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }f(x,y,z)dzdx.$

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

$\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,$

где $P,Q,R$ суть функции от $(x,y,z)$, определённые в точках поверхности $\mathrm{\Phi }$.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

$\underset{\mathrm{\Sigma }+}{\iint }f(x,y,z)dydz=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\cos (\nu \wedge i)d\sigma ,$

где $\nu$ — единичный вектор нормали поверхности $\mathrm{\Sigma }$, $i$ — орт.

Свойства

1. Линейность: $\underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }(\alpha f+\beta g)dxdy=\alpha \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }fdxdy+\beta \underset{\mathrm{\Phi }}{\iint }gdxdy$.
2. Аддитивность: $\underset{{\mathrm{\Phi }}_1}{\iint }fdxdy+\underset{{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fdxdy=\underset{{\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2}{\iint }fdxdy$.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Мир математических уравнений Шаблон:Wayback.