Поворот Вика

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

$d{s}^2=-(d{t}^2)+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

$d{s}^2=d{\tau }^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$,

если координата $t$ принимает только мнимые значения. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами $x$, $y$, $z$, $t$, заменяя $t=i\tau$, можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами $x$, $y$, $z$, $\tau$.

Статистическая и квантовая механика

Шаблон:Плохой перевод Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры $1/(k_{B}T)$ мнимым временем $it/\hslash$. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре $T$. Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией $E$ есть $\exp (-E/k_{B}T)$, где $k_B$ константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой $Q$:

$⟨Q⟩=\frac{1}{Z}\sum _{j}Q(j)e^{-E_j/(k_{B}T)}.$

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время $t$ с Гамильтонианом $H$. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией $E$ есть $\exp (-Eit/\hslash ),$ где $\hslash$ редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний $|\psi ⟩=\sum _j|j⟩$ приводит к произвольной суперпозиции $|Q⟩=\sum _j{Q}_j|j⟩$ есть, пропуская нормирующий множитель,

$⟨Q|e^{-iHt/\hslash }|\psi ⟩$

$=\sum _j{Q}_j{e}^{-E_{j}it/\hslash }⟨j|j⟩$

$=\sum _j{Q}_j{e}^{-E_{j}it/\hslash }.$

Статика и динамика

Поворот Вика связывает статические задачи в $n$ измерениях с динамическими задачами в $n-1$ измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где $n=2$ примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны задаётся функцией $y(x)$. Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

$E=\underset{x}{\int }[k{\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)}^2+V(x)]dx,$

где $k$ — коэффициент упругости струны и $V(x)$ — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):

$S=\underset{t}{\int }[m{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2-V(t)]dt$

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя $-i$) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив $x$ на $t$, $dx$ на $idt$, и коэффициент упругости $k$ на массу камня $m$:

$-iS=\underset{t}{\int }[m{\left(\frac{dy(t)}{idt}\right)}^2+V(t)](idt)$

$=-i\underset{t}{\int }[m{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2-V(t)]dt$

Ссылки

• Wick rotation Шаблон:Wayback — a blog introduction
• A Spring in Imaginary Time Шаблон:Wayback — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.