Покрытие множества

Шаблон:Другие значения Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами^[1].

Определения

Пусть дано множество $X$ . Семейство множеств $C = {U_{α}}_{α \in A}$ называется покрытием $X$ , если

X \subseteq ⋃_{α \in A} U_{α} .

Пусть дано топологическое пространство $(X, 𝒯)$ , где $X$ — произвольное множество, а $𝒯$ — определённая на $X$ топология. Тогда семейство открытых множеств $C = {U_{α}}_{α \in A} \subseteq 𝒯$ называется открытым покрытием множества $Y \subseteq X$ , если

Y \subseteq ⋃_{α \in A} U_{α} .

Если $C$ — покрытие множества $Y$ , то любое подмножество $D \subset C$ , также являющееся покрытием $Y$ , называется подпокры́тием.
Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие $D = {V_{β}}_{β \in B}$ вписано в покрытие $C = {U_{α}}_{α \in A}$ , если

\forall β \in B \exists α \in A

такое, что

V_{β} \subseteq U_{α} .

Покрытие $C = {U_{α}}_{α \in A}$ множества $Y$ называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки $y \in Y$ существует окрестность $U ∋ y$ , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $C$ , то есть множество ${α \in A ∣ U_{α} \cap U = \emptyset}$ конечно.
Покрытие $C = {U_{α}}_{α \in A}$ множества $Y$ называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством $U \in C$ открыто в $U$ , открыто и в $Y$ .
$Y$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
$Y$ называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.