Порядковая статистика

Поря́дковые стати́стики в математической статистике — это упорядоченная по неубыванию выборка одинаково распределённых независимых случайных величин и её элементы, занимающие строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — конечная выборка из распределения ${\mathbb{P}}^X$, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$. Пусть $\omega \in \mathrm{\Omega }$ и $x_i=X_i(\omega ),i=1,\dots ,n$. Перенумеруем последовательность $\{x_i{\}}_{i=1}^n$ в порядке неубывания, так что

$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n-1)}\le x_{(n)}$.

Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина $X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}$ называется $k$-ой порядковой статистикой исходной выборки. Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.

Замечания

Очевидно из определения:

• $X_{(1)}=\min (X_1,\dots ,X_n)$;
• $X_{(n)}=\max (X_1,\dots ,X_n)$.

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения

• Пусть дана независимая выборка $X_1,\dots ,X_n$ из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения $f_X$ и функцией распределения $F_X$. Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид:

$f_{X_{(k)}}(x)=\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}[F_X(x){]}^{k-1}[1-F_X(x){]}^{n-k}{f}_X(x)$.

• Случайный вектор ${(X_{(j)},X_{(k)})}^{\mathrm{\top }}$, где $1\le j<k\le n$ также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:

$f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_j,x_k)=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}[F_X(x_j){]}^{j-1}[F_X(x_k)-F_X(x_j){]}^{k-j-1}[1-F_X(x_k){]}^{n-k}{f}_X(x_j)f_X(x_k),& x_j\le x_k\\ 0,& x_j>x_k\end{array}$.

Пример

Файл:Order statistics uniform distribution.png

Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5.

Пусть $U_1,\dots ,U_n\sim \mathrm{U}[0,1]$ - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

• $f_{U_{(k)}}(u)=\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}{u}^{k-1}[1-u{]}^{n-k},u\in [0,1]$,

то есть $U_{(k)}\sim \mathrm{B}(k,n-k+1)$, где $\mathrm{B}$ - бета-распределение;

• $f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_j,u_k)=\frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}{u}_j^{j-1}[u_k-u_j{]}^{k-j-1}[1-u_k{]}^{n-k},j<k,0\le u_j\le u_k\le 1$;
• $f_{U_{(1)},\dots ,U_{(n)}}(u_1,\dots ,u_n)=n!,0\le u_1\le \cdots \le u_n\le 1$.

См. также

• Статистика (функция выборки)
• Алгоритм выбора