Порядок величины

Шаблон:Нет ссылок Порядок величины — класс эквивалентности ${𝒞}_n$ величин (или шкал) ${𝒞}_n=\{x_n\}$, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение $r=\frac{x_n}{x_{n-1}}$ к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности ${𝒞}_n$ а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса $n$ при условии, что некоторый класс ${𝒞}_0$ был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию $b$, чаще всего принимают $r=b$ и $1\in {𝒞}_1$, $b\in {𝒞}_2$. При этом $n$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

• ${𝒞}_1\supset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
• ${𝒞}_2\supset \{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$
• ${𝒞}_3\supset \{100,200,300,400,500,600,700,800,900\}$

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

• порядки чисел по основанию $b=10$,
• порядки чисел по основанию $b=2$
• порядки чисел по основанию $b=e$.

Порядок чисел в естественном языке

Шаблон:Якорь В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в $10^n$ раз больше, где $n$ — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам ${𝒞}_n,{𝒞}_{n+1},{𝒞}_{n+2},\dots ,{𝒞}_{n+d}$ могут быть записаны как $x,rx,r^{2}x,\dots ,r^{d}x$, где $x\in {𝒞}_n$ — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то $\left|{\log }_r\frac{x_1}{x_2}\right|<1$. Шаблон:Начало скрытого блока Действительно, пусть числа $m\in {𝒞}_n$ и $M\in {𝒞}_n$ являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку ${𝒞}_n$. Если число $x\in {𝒞}_n$ так же принадлежит порядку ${𝒞}_n$, то его значение должно удовлетворять условию $m\le x\le M$. В то же время числа $rm$ и $\frac{1}{r}M$ принадлежат смежным с порядком ${𝒞}_n$ порядкам ${𝒞}_{n+1}$ и ${𝒞}_{n-1}$ соответственно. Из этого следует, что для любого числа $x$ в данном порядке выполняется соотношение $\frac{1}{r}M<m\le x\le M<rm$.

Пусть два числа $x_1$ и $x_2$ принадлежат данному порядку ${𝒞}_n$. Тогда $-1={\log }_r\frac{m}{rm}<{\log }_r\frac{x_1}{x_2}<{\log }_r\frac{M}{\frac{1}{r}M}=1$. Шаблон:Конец скрытого блока

Разность порядков

Если два числа $x_1$ и $x_2$ принадлежат порядкам $x_1\in {𝒞}_{n_1}$ и $x_2\in {𝒞}_{n_2}$ в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение $d=d(x_1,x_2)=n_2-n_1$ иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел $x_1$ и $x_2$ разность их порядков может быть найдена как $d=\lfloor {\log }_r\frac{x_2}{x_1}\rfloor$ при $x_2\ge x_1$.

Шаблон:Начало скрытого блока Выберем число $x_2^{*}\in {𝒞}_{n_1}$ принадлежащее порядку ${𝒞}_{n_1}$ и соответствующее числу $x_2$ из порядка ${𝒞}_{n_2}$. По определению порядка существует такое целое $d$, что $x_2^{*}=r^{-d}{x}_2$. Получаем, что ${\log }_r\frac{x_2}{x_1}={\log }_r\frac{r^d{x}_2^{*}}{x_1}=d+{\log }_r\frac{x_2^{*}}{x_1}$.

Числа $x_1$ и $x_2^{*}$ принадлежат одному порядку и потому ${\log }_r\frac{x_2^{*}}{x_1}<1$. В то же время число $d$ является целым, а значит $d=\lfloor d\rfloor =\lfloor d+{\log }_r\frac{x_2^{*}}{x_1}\rfloor =\lfloor {\log }_r\frac{x_2}{x_1}\rfloor$. Шаблон:Конец скрытого блока

В случае $x_2\le x_1$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком $d(x_1,x_2)=-d(x_2,x_1)$.

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение $d={\log }_r\frac{x_2}{x_1}$.

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа $x_1$ и $x_2$ различаются не более чем на полпорядка», то есть $\left|{\log }_r\frac{x_2}{x_1}\right|\le \frac{1}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{r}}{x}_1\le x_2\le \sqrt{r}{x}_1$.

См. также

• Экспоненциальная запись
• Порядок величины (площадь)

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web