Потенциалы Льенара — Вихерта

Потенциа́лы Льена́ра — Ви́херта (часто используется также написание потенциалы Лиенара — Вихерта) представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.

Выражения получены независимо друг от друга Альфредом-Мари Льенаром (1898) и Эмилем Вихертом (1900).

Определение

Все величины в формулах для потенциалов Льенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор $𝐑$, берутся в момент времени $t^{\prime }$, определяемый из уравнения

$c(t-t^{\prime })=R.$

$t^{\prime }$ также называют Шаблон:Iw.

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

$\phi (t)={\frac{e}{R+\frac{𝐯𝐑}{c}}|}_{t=t^{\prime }},$

$𝐀(t)={\frac{e𝐯}{c(R+\frac{𝐯𝐑}{c})}|}_{t=t^{\prime }},$

где $𝐯$ — скорость частицы, $𝐑$ — её радиус-вектор, $R=|𝐑|,$ $\phi$ — скалярный потенциал, $𝐀$ — векторный потенциал магнитного поля, $e$ — заряд частицы, $c$ — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором ${𝐫}_P$, формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

$A^{\mu }=e\frac{u^{\mu }}{R_{\nu }{u}^{\nu }},R_{\lambda }{R}^{\lambda }=0,$

где $u^{\mu }$ — 4-скорость частицы в момент времени $t^{\prime }$, 4-вектор $R^{\mu }=[c(t-t^{\prime }),{𝐫}_P-{𝐫}^{\prime }],$ величина ${𝐫}^{\prime }$ есть радиус-вектор частицы в момент времени $t^{\prime }$.

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля.
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).