Поток средней кривизны

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

Уравнение

Однопараметрическое семейство поверхностей $f_t:S\hookrightarrow M$ является потоком средней кривизны, если

$\frac{\partial f_t(x)}{\partial t}=H_t(x)\cdot n(x),$

где $H_t(x)$ и $n(x)$ обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности $f_t(S)$ в точке $f_t(x)$.

Свойства

• Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
  • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
• Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
• Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
• Шаблон:Iw
• Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
  • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.

См. также

• Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
• Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

Применения

• Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной $C^2$-гладкой гиперповерхности аналитическими.

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation. См., в частности, уравнения 3a и 3b.