Представление Лакса

Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса. Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.

Пара Лакса — пара операторов $L(t),P(t)$, зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса:

$\frac{dL}{dt}=[P,L]$.

В таком случае величины $\mathrm{tr}{L}^k$ являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.

Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов. Например, уравнение Кортевега — де Фриза:

$u_t=6u{u}_x-u_{xxx}$

может быть представлено посредством пары:

$\begin{array}{cc}L& =-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+u,\\ P& =-4\underset{x}{\overset{3}{\partial }}+6u{\partial }_x+3u_x\end{array}$.

Множество $\mathrm{tr}{L}^k$ даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.

Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона, цепочка Тоды, волчок Ковалевской, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья