Преобразование Кельвина

Преобразова́ние Ке́львина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция

|OP| = x, |OP '| = x* — симметричные относительно сферы точки

$u^{\ast }(x^{\ast })={\left(\frac{R}{|x^{\ast }|}\right)}^{n-2}u\left(\frac{R^2}{|x^{\ast }{|}^2}{x}^{\ast }\right),$

где точки x и x* симметричны относительны сферы с радиусом R: $|x||x^{\ast }|=R^2$, а n — размерность пространства.

Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции, при этом выполняется следующее равенство:

$\Delta u^{\ast }(x^{\ast })=\frac{R^{n+2}}{|x^{\ast }{|}^{n+2}}(\Delta u{)}^{\ast }(x^{\ast }).$

Литература

• Шаблон:Книга