Преобразование Кельвина

Преобразова́ние Ке́львина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция

|OP| = x, |OP '| = x* — симметричные относительно сферы точки

$u^{*}(x^{*})={\left(\frac{R}{|x^{*}|}\right)}^{n-2}u\left(\frac{R^2}{|x^{*}{|}^2}{x}^{*}\right),$

где точки x и x* симметричны относительны сферы с радиусом R: $|x||x^{*}|=R^2$, а n — размерность пространства.

Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции, при этом выполняется следующее равенство:

$\mathrm{\Delta }{u}^{*}(x^{*})=\frac{R^{n+2}}{|x^{*}{|}^{n+2}}(\mathrm{\Delta }u{)}^{*}(x^{*}).$

Литература

• Шаблон:Книга