Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование $H_{u}$ векторного пространства $V$ , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором $u$ , который ортогонален ей, а $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ — скалярное произведение в $V$ , тогда

H_{u} (x) = x - 2 ⟨ x, u ⟩ u

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

H = I - 2 u u^{†} .

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: $H = H^{†} .$
Матрица Хаусхолдера является унитарной: $H^{†} H = I .$
Матрица Хаусхолдера является инволюцией: $H^{2} = I$ .
Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное $- 1$ , которое соответствует собственному вектору $u$ , все другие собственные значения равны $1$ .
Определитель матрицы Хаусхолдера равен $- 1$ .

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947